Théorème de Pythagore et calcul de longueurs de classe de 4e

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Dans un triangle rectangle : c^2 = a^2 + b^2, où c est l'hypoténuse. • Inverse : a^2 = c^2 - b^2, donc a = c^2 - b^2 : on cherche le côté de l'angle droit. • Une diagonale de cadre vaut largeur^2 + hauteur^2 ; le résultat garde l'unité des côtés utilisés. • On additionne (ou on soustrait) les carrés des longueurs, jamais les longueurs elles-mêmes ; la réciproque permet de contrôler qu'un angle est droit.

Le cours

1. Le théorème et son usage inverse Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés de l'angle droit. Symboliquement, pour un triangle de côtés a, b et c, c étant l'hypoténuse : c^2 = a^2 + b^2. On sait aussi inverser la relation, ce qui est indispensable en mécanique : a^2 = c^2 - b^2. • Chercher l'hypoténuse : on additionne les deux carrés. • Chercher un côté de l'angle droit : on fait une soustraction de carrés, puis on prend la racine carrée du résultat positif. • L'égalité porte sur des carrés : 400^2 = 160\,000\ mm^2 ; on ne prend la racine carrée qu'à la toute fin pour revenir à une longueur. 2. Ce que l'on calcule ainsi sur une machine Le théorème donne d'abord le carré d'une longueur. Il s'applique dès qu'un croquis présente un angle droit : deux montants d'un châssis assemblés d'équerre, les deux branches d'une équerre de fixation, un montant vertical posé sur une base horizontale. • Distance entre deux trous percés sur une équerre en L, connaissant les longueurs des deux branches. • Diagonale d'un cadre ou d'un berceau : elle est l'hypoténuse du triangle formé par la largeur et la hauteur. • Longueur manquante lorsqu'on connaît la diagonale d'un support et un seul de ses deux autres côtés. • Contrôle d'équerrage (réciproque) : on mesure les trois côtés ; si le carré du plus grand n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres, le triangle n'est pas rectangle et le cadre n'est pas d'équerre. 3. Les trois erreurs qui faussent une cote • Ajouter les longueurs au lieu des carrés. La diagonale d'un cadre de 400\ mm sur 350\ mm ne mesure pas 750\ mm mais 400^2+350^2 531,5\ mm. • Oublier les unités. 400\ mm et 350\ mm donnent une diagonale en millimètres ; mélanger mètres et millimètres fausse le résultat d'un facteur 1\,000. • Appliquer Pythagore sans angle droit. La relation ne vaut que si l'angle entre les deux côtés utilisés est vraiment un angle droit : deux montants d'un même châssis qui se croisent à 80^ ne forment pas un triangle rectangle. Pièce mécaniqueCôtés de l'angle droitGrandeur cherchéeValeur Équerre de fixation400\ mm et 350\ mmDistance entre les deux trous531,5\ mm Berceau de levage1,80\ m et 2,40\ mDiagonale du cadre3,00\ m Support de chariotMontant de 0,50\ m, jambe de force de 1,20\ mLargeur de la base1,09\ m

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