Produit scalaire de deux vecteurs : définition et calcul

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• uv = \|u\|\,\|v\|\,() avec 0^ 180^. • Le produit scalaire est un nombre réel : son unité est le produit des unités, par exemple Nm pour une force et un déplacement. • En coordonnées : uv = x_1x_2 + y_1y_2. • Signe : positif si les vecteurs forment un angle aigu, nul s'ils sont orthogonaux, négatif s'ils forment un angle obtus.

Le cours

1. Définition Soient deux vecteurs u et v non nuls, et soit l'angle géométrique formé par leurs demi-droites, pris dans l'intervalle [0^\,;\,180^]. Le produit scalaire de ces deux vecteurs est le nombre réel noté uv défini par : • uv = \|u\| \|v\| () • Si l'un des deux vecteurs est nul, le produit scalaire vaut 0. • Le résultat est un scalaire (un nombre), jamais un vecteur : son unité est le produit des unités des deux vecteurs, par exemple Nm, c'est-à-dire des joules, pour une force et un déplacement. • Signe : positif si 90^. u = (190 ; 0) v = (130 ; 84) θ O 2. Calcul par les coordonnées Dans un repère orthonormé du plan, si u = (x_1\,;\,y_1) et v = (x_2\,;\,y_2), alors : • uv = x_1x_2 + y_1y_2 • \|u\| = x_1^2 + y_1^2 et \|v\| = x_2^2 + y_2^2 • uu = \|u\|^2 = x_1^2 + y_1^2 • L'angle se déduit alors de () = x_1x_2 + y_1y_2x_1^2+y_1^2x_2^2+y_2^2, toujours avec un angle dans [0^\,;\,180^]. 3. Deux voies de calcul, un seul résultat • Par les longueurs et l'angle : on utilise la définition, il faut connaître l'angle et les deux normes. • Par les coordonnées : on lit les composantes sur l'épure, sans aucun calcul d'angle préalable. • Dans les deux cas l'unité est le produit des unités : m^2 pour deux longueurs, Nm (joules) pour un effort et un déplacement. • Mini-exemple : u = (2\,;\,0) et v = (1\,;\,1) forment un angle de 45^ ; par les coordonnées uv = 2, par la définition 2 2 22 = 2. Quand les deux voies sont possibles, l'une contrôle l'autre. 4. Pièges de définition • Chercher un vecteur. Le produit scalaire est un nombre : il n'a ni direction ni sens, et on ne le dessine pas comme une flèche. • Prendre le mauvais angle. L'angle est celui des deux vecteurs placés à partir d'un même point. Pour AB et BC, ce n'est pas l'angle ABC du triangle mais son supplémentaire : avec ABC = 60^, = 120^ et le produit est négatif. • Oublier le signe d'une composante. Deux composantes de signes contraires donnent un terme négatif, et le produit scalaire peut devenir négatif alors que les deux vecteurs sont de grande norme. • Mélanger les unités. Un produit de longueurs en mètres donne un produit scalaire en m^2 : le résultat n'est pas une longueur.

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