Produit scalaire et orthogonalité de deux vecteurs

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• uv uv = 0 pour deux vecteurs non nuls. • En coordonnées : xa + yb = 0 suffit, sans calculer d'angle. • Avec trois longueurs : OB^2 = OA^2 + AB^2 prouve l'orthogonalité des deux bras au sommet A. • Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur : pour conclure à la perpendicularité de deux pièces, vérifier que les vecteurs sont non nuls.

Le cours

1. Le critère d'orthogonalité C'est le résultat le plus utile du chapitre. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux, c'est-à-dire perpendiculaires, lorsque leur produit scalaire est nul. Aucune norme ni aucun angle n'a besoin d'être calculé. • uv uv = 0 • En coordonnées : u = (x\,;\,y) et v = (a\,;\,b) sont orthogonaux si et seulement si xa + yb = 0. • Cas particulier : par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. Pour conclure que deux pièces ou deux droites sont perpendiculaires, il faut donc des vecteurs directeurs non nuls. u = (5 ; 0) v = (0 ; 4) O u · v = 5 × 0 + 0 × 4 = 0 2. Prouver l'orthogonalité avec les seules longueurs Sur un plan, on connaît souvent trois longueurs et aucune coordonnée. L'identité précédente permet alors de conclure : deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si le carré de la norme de leur somme est égal à la somme des carrés de leurs normes. C'est le théorème de Pythagore utilisé à l'envers. • uv \|u + v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2 • Avec u = OA et v = AB, donc u + v = OB : OAAB = OB^2 - OA^2 - AB^2/2 = 0 OB^2 = OA^2 + AB^2 • Sur une transmission, cela permet de vérifier qu'une biellette est bien perpendiculaire à la manivelle en comparant trois cotes du dessin. 3. Où l'on rencontre l'orthogonalité en STI2D • Transmission de force maximale. Quand la biellette est perpendiculaire à la manivelle, la composante motrice de l'effort est maximale : c'est la position la plus efficace du cycle. • Guidage d'un coulisseau. Sans frottement, la réaction du guide est normale au plan : elle est orthogonale au déplacement, son produit scalaire avec lui est nul et elle ne travaille pas. • Équerrage d'un bâti. On relève les coordonnées de trois points d'un cadre ; un produit scalaire nul entre deux côtés prouve que l'angle est droit. 4. Pièges de conclusion • Conclure à la perpendicularité avec un vecteur nul. Le produit vaut 0, mais le vecteur nul n'a pas de direction : il faut d'abord vérifier que les deux vecteurs sont non nuls. • Confondre orthogonal et aligné. Deux vecteurs de même sens ont un produit scalaire égal au produit des normes, et deux vecteurs de sens opposés ont un produit négatif : seul le cas nul correspond à l'angle droit. • Calculer dans un repère non orthonormé. La formule xa + yb n'est valable que dans un repère orthonormé : sur une épure dont les deux axes n'ont pas la même échelle, il faut d'abord revenir à des coordonnées dans la même unité.

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