Angles remarquables : 30°, 45°, 60° et valeurs exactes

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• 30^ = 60^ = 1/2 et 30^ = 60^ = 32 0,866. • 45^ = 45^ = 22 0,707 et 45^ = 1. • Pour l'angle supplémentaire, seul le cosinus change de signe : (180^-) = - et (180^-) = ; ainsi 120^ = -1/2. • Écrire la valeur exacte avant tout arrondi : c'est ce qui distingue un résultat maîtrisé d'un résultat approché.

Le cours

1. Le tableau des valeurs à connaître par cœur Les angles de 30^, 45^ et 60^ se construisent très simplement (demi-carré, demi-triangle équilatéral) : leurs cosinus, sinus et tangente ont des valeurs exactes, qu'on utilise sans calculatrice. Avec 0^ et 90^, ce sont les valeurs à connaître par cœur ; le tableau donne aussi, grâce au cercle trigonométrique, celles de 120^, 135^ et 150^. Angle 30^32 0,8661/2 = 0,533 0,577 45^22 0,70722 0,7071 60^1/2 = 0,532 0,8663 1,732 90^01indéfini 120^-1/232-3 135^-2222-1 150^-321/2-33 2. Deux constructions qui donnent les valeurs exactes • Le demi-carré. Un carré coupé par une diagonale donne deux triangles rectangles isocèles : l'hypoténuse est la diagonale, les deux autres côtés sont égaux. On en déduit 45^ = 45^ = 22 et 45^ = 1. • Le triangle équilatéral coupé en deux. Un triangle équilatéral partagé par une hauteur donne deux triangles rectangles d'angles 30^ et 60^ ; le petit côté (la moitié d'un côté du triangle) vaut la moitié de l'hypoténuse (un côté entier) : d'où 30^ = 1/2 et 60^ = 1/2. • La hauteur d'un triangle équilatéral vaut 32 fois son côté (environ 0,866 fois) et la diagonale d'un carré vaut 2 fois son côté (environ 1,414 fois) : ce sont les deux longueurs à retenir. A B C M 30° 30° 60° 60° côté h côté / 2 côté / 2 h = √3 / 2 × côté 3. Quand une valeur exacte simplifie tout Une cote calculée avec une valeur exacte reste exacte : c'est le signe d'un travail maîtrisé. Pour un bras de 400\ mm relevé à 30^ au-dessus de l'horizontale : • verticale = 400 1/2 = 200\ mm, un nombre entier ; • horizontale = 400 32 = 2003 346,41\ mm. 4. Valeur exacte et valeur approchée • 32 0,866 est une approximation ; la valeur exacte est 32. Écrire la valeur exacte d'abord, arrondir ensuite. • Arrondir trop tôt fausse le résultat : avec 30^ 0,87, on obtient 400 0,87 = 348\ mm au lieu de 346,41\ mm, soit près de 2\ mm d'écart. • Ne jamais inventer une valeur pour un angle non remarquable : 73^ n'a pas de valeur exacte simple, il faut passer par la calculatrice ( 73^ 0,292).

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