Produit scalaire et projeté d'un vecteur sur un axe

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Le projeté de u sur un axe unitaire de vecteur i vaut p = ui = \|u\|(). • Sur un axe de direction : p = x_u() + y_u(). • p est signé : négatif, l'effort s'oppose à l'orientation de l'axe. • Contrôle : p^2 + p_^2 = \|u\|^2, où p_ est la composante perpendiculaire à l'axe.

Le cours

1. Le projeté d'un vecteur sur un axe Soit u un vecteur et i le vecteur unitaire d'un axe : sa norme vaut 1 et il est orienté suivant l'axe. La composante de u sur cet axe, c'est-à-dire la mesure algébrique de son projeté orthogonal, est le nombre ( désignant l'angle entre u et i) : • p = ui = \|u\|() • p est signé : il est négatif si la projection se fait en sens inverse de l'axe, et la valeur absolue est la longueur du projeté. • Si le vecteur d donné sur le plan n'est pas unitaire, il faut le normaliser : p = ud\|d\|. • Le projeté n'est pas la longueur de u : c'est la seule composante de u qui agit dans la direction de l'axe. 2. Formules pratiques dans un repère du plan • Dans un repère orthonormé, la projection sur l'axe horizontal est l'abscisse et la projection sur l'axe vertical est l'ordonnée du vecteur. • Si l'axe porte une direction par rapport à l'horizontale, alors : p = x_u() + y_u() • La composante perpendiculaire à cet axe se calcule de la même façon : p_ = -x_u() + y_u() • On a toujours p^2 + p_^2 = \|u\|^2 : c'est le théorème de Pythagore, et c'est le contrôle le plus simple d'un projeté calculé. u : 200 N à 20° axe à 35° p = 193 N sur l'axe p = 188 N sur (Ox) O (Ox) 3. Utiliser le projeté en mécanique • Composante utile d'un effort. Seule la composante de l'effort sur la direction du déplacement agit sur le mouvement : c'est elle qui intervient dans le travail W = F_axe d et dans la puissance. • Composante qui charge un guidage. La composante perpendiculaire p_ ne fait pas avancer la pièce : elle appuie sur le guide et use les galets. • Lire le signe. Si la composante calculée est négative, l'effort s'oppose au mouvement : il freine, et le signe se lit sans calcul supplémentaire. 4. Pièges de projeté • Oublier de normaliser l'axe. Avec un vecteur d'axe de norme 5 et non 1, le produit scalaire obtenu est multiplié par 5 : il faut diviser par la norme de l'axe. • Perdre le signe. Le projeté est un nombre signé ; prendre sa valeur absolue revient à dire que l'effort pousse dans le sens choisi, ce qui peut être faux. • Confondre la composante et le vecteur projeté. Le projeté orthogonal de u est un vecteur, égal à p\,i ; la composante p est un nombre signé.

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