Résolution d'un angle d'un mécanisme par produit scalaire

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Produit scalaire par trois longueurs : OAOB = OA^2 + OB^2 - AB^2/2. • L'angle en découle : = OA^2 + OB^2 - AB^2/2\,OA\,OB, avec 0^ 180^. • Domaine de validité : d - r AB d + r, sinon la configuration n'existe pas. • Alignements : AB = d - r donne = 0^ et AB = d + r donne = 180^.

Le cours

1. L'angle se lit dans un produit scalaire calculé avec trois longueurs Beaucoup de mécanismes (hayon, barrière levante, benne basculante) sont des bras pivotants manœuvrés par un vérin. Le pivot O du bras, le point d'attache A du vérin sur le bras et son point d'ancrage B sur le bâti forment un triangle dont on connaît les trois longueurs, mais aucun angle. Le produit scalaire des deux vecteurs partant de O se retrouve alors à partir des carrés des longueurs, et l'angle s'en déduit. • Dans le triangle OAB, avec OA = u et OB = v, on a AB = v - u. • uv = OA^2 + OB^2 - AB^2/2 • En divisant par le produit des normes, on obtient directement l'angle : = OA^2 + OB^2 - AB^2/2 OA OB avec 0^ 180^ • C'est la formule d'Al-Kashi, conséquence directe de la bilinéarité : AB^2 = \|v - u\|^2 = OA^2 - 2\,uv + OB^2. Elle ne demande qu'une calculatrice et trois cotes du dessin. 2. Le vocabulaire d'un bras manœuvré par un vérin • Bras : la pièce qui pivote autour de O ; le vérin y est attaché en A, à la distance r = OA du pivot. • Vérin : sa longueur AB varie quand la tige sort ou rentre ; c'est elle qui fixe la position du bras. • Entraxe : la distance fixe d = OB entre le pivot du bras et l'ancrage du vérin sur le bâti. • Alignements : positions limites où O, A et B sont alignés. On a AB = d - r ( = 0^) ou AB = d + r ( = 180^) : le vérin pousse alors dans l'axe du bras et ne peut plus le faire tourner. • Domaine de variation (pour d > r) : d - r AB d + r. Une longueur de vérin hors de ce domaine correspond à une configuration impossible. θ O A B r = 40 mm d = 120 mm AB = 100 mm Vérin ABAngle du bras (r = 40, d = 120) d - r = 80\ mm0,0^ : A entre O et B 100\ mm51,3^ intermédiaire, angle aigu 120\ mm80,4^ presque perpendiculaire à (OB) d + r = 160\ mm180,0^ : O entre A et B 3. Méthode en cinq gestes • 1. Nommer les trois sommets du triangle et identifier le bras OA, le vérin AB et l'entraxe OB. • 2. Vérifier que le vérin est dans le domaine d - r AB d + r : sinon la configuration n'existe pas. • 3. Calculer le produit scalaire OA^2 + OB^2 - AB^2/2, en unités cohérentes. • 4. Diviser par OA OB pour obtenir , puis utiliser l'arccosinus. • 5. Contrôler : l'angle trouvé doit être compris entre 0^ et 180^, et tendre vers 0^ ou 180^ quand le vérin approche d'une position d'alignement. 4. Pièges de vocabulaire • Calculer l'angle au mauvais sommet. La relation donne l'angle entre les deux vecteurs qui partent du même point, donc l'angle en O entre le bras et l'entraxe, pas l'angle en A entre le vérin et le bras. • Confondre AB et OB. Le vérin est le côté qui ne touche pas le pivot O : c'est sa longueur que l'on soustrait au numérateur. • Mélanger les unités. Des cotes en millimètres et une en mètres donnent un produit scalaire absurde : tout se calcule dans la même unité, et le produit scalaire s'exprime alors en unités carrées, par exemple en mm^2.

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