Conversion degrés-radians et usage du radian en sciences industrielles

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• 360^ = 2\ rad et 180^ = \ rad : un tour complet vaut 2 radians. • _rad = _° /180, et l'inverse avec 180/. • f = n/60 avec n en tr/min, puis = 2 f en rad·s^-1. • Le radian est sans unité : c'est ce qui rend homogène la relation v = r.

Le cours

1. Ce qu'est un radian La mesure en radians d'un angle au centre est la longueur de l'arc qu'il intercepte sur un cercle de rayon 1. Sur un cercle de rayon R, un angle de radians intercepte un arc de longueur = R. Un tour complet parcourt la circonférence d'un tel cercle, soit 2 : voilà pourquoi 360^ = 2\ rad et 180^ = \ rad. • 90^ = /2\ rad, 45^ = /4\ rad, 30^ = /6\ rad, 60^ = /3\ rad. • Passer des degrés aux radians : _rad = _° /180. • Passer des radians aux degrés : _° = _rad 180/. • Le radian est le rapport de deux longueurs (arc sur rayon) : c'est une unité sans dimension, ce qui rend très simples les formules de la physique. 2. Le régime de rotation se lit toujours en radians par seconde Un moteur, un ventilateur ou un treuil se choisit sur un catalogue qui donne la vitesse de rotation en tours par minute. Pour appliquer les formules de la mécanique, il faut la fréquence puis la vitesse angulaire, et la vitesse angulaire s'exprime en radians par seconde. • f = n/60 si n est en tr/min, et f est alors en Hz. • = 2 f = 2 n/60 en rad·s^-1. • v = r relie la vitesse linéaire d'un point à la vitesse angulaire : le produit est homogène grâce au radian. OrganeVitesse de rotationFréquence fVitesse angulaire Moteur d'un convoyeur à bandes1\,450\ tr/min24,17\ Hz151,84\ rad·s^-1 Moteur d'un pont roulant900\ tr/min15\ Hz94,25\ rad·s^-1 Servo-moteur d'un axe de vérin1\,800\ tr/min30\ Hz188,50\ rad·s^-1 Treuil de levage manuel12\ tr/min0,2\ Hz1,26\ rad·s^-1 3. Pourquoi l'on écrit en radians et non en degrés • Les formules = R, v = R et = 2 f ne sont vraies qu'en radians : en degrés, il faudrait y ajouter le facteur /180. • La relation v = R est homogène : avec R en mètres et en rad·s^-1, la vitesse est directement en mètres par seconde. • Exemple : une poulie de rayon 0,05\ m qui tourne d'un quart de tour (/2\ rad) enroule = 0,05 /2 0,079\ m de câble. • Les catalogues donnent les vitesses en tr/min : on convertit toujours en rad·s^-1 avant un calcul de vitesse ou d'angle. 4. Les pièges de conversion • Calculatrice en mode degrés. Si la calculatrice est réglée sur les degrés alors qu'on entre une valeur en radians, l'angle obtenu est faux d'un facteur 180/ 57,3. • Confondre tr/min et rad·s^-1. 900\ tr/min ne valent pas 900\ rad·s^-1 mais 94,25\ rad·s^-1 : il faut d'abord diviser par 60. • Oublier qu'un tour vaut 2 radians. Pour convertir un nombre de tours en radians, on le multiplie par 2, et non par 360 (qui donne des degrés).

Dans ce chapitre