Parité et périodicité des fonctions trigonométriques

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• (-x) = x (fonction paire) et (-x) = - x (fonction impaire). • Période de et de : 2, soit 360^ ; un tour complet ramène le système à l'identique. • (180^ - x) = - x et (180^ - x) = x : même hauteur, abscisse opposée. • Inversion du sens de rotation : x inchangée, y changée de signe.

Le cours

1. Parité : ce qui change quand l'angle change de signe Passer d'un angle x à son opposé -x revient à tourner du même angle dans l'autre sens : le point obtenu est le symétrique du premier par rapport à l'axe horizontal (Ox). L'abscisse reste la même, l'ordonnée change de signe. • (-x) = x : le cosinus est une fonction paire. • (-x) = - x : le sinus est une fonction impaire. • Sur le cercle, cela se lit sans calcul : le point symétrique par rapport à l'axe (Ox) a la même abscisse et une ordonnée opposée. • (-x) = -(x) pour tout x où la tangente est définie. 2. Périodicité : la machine revient au même point Les fonctions cosinus et sinus se répètent : après une rotation complète, le point est revenu exactement à sa position de départ. Deux autres symétries du cercle, liées au demi-tour, rendent aussi service en mécanique. • (x + 2) = x et (x + 2) = x : la période vaut 2, soit 360^. • ( - x) = - x et ( - x) = x : la position d'angle - x est le symétrique de celle d'angle x par rapport à l'axe vertical. • ( + x) = - x et ( + x) = - x : symétrie par rapport à l'origine. Angle de la manivelleAbscisse xOrdonnée yLien avec la position à 30^ 30^+0,866\,R+1/2RPosition de référence 150^-0,866\,R+1/2R180^ - 30^ : symétrique par rapport à l'axe vertical 210^-0,866\,R-1/2R180^ + 30^ : symétrique par rapport à l'origine 330^+0,866\,R-1/2R-30^ : symétrique par rapport à l'axe horizontal 360^+R0Retour exact à la position de départ 3. À quoi cela sert sur une machine • Inverser le sens de rotation. Un moteur qui tourne en sens inverse fait correspondre à l'angle l'angle - : l'abscisse est inchangée, l'ordonnée est changée de signe. • Éviter un calcul. Pour connaître la hauteur d'un tourillon à l'angle 150^, on écrit 150^ = 30^ = 1/2 au lieu d'utiliser la calculatrice. • Ramener un angle à un tour. Une manivelle qui a tourné de 750^ est dans la même position qu'à 750^ - 2 360^ = 30^ : seuls les tours entiers disparaissent. 4. Les confusions classiques • Écrire (180^ - x) = x. C'est faux : le cosinus change de signe, (180^ - x) = - x. En revanche le sinus est bien inchangé. • Confondre - x et -x. Les deux angles ont des abscisses opposées et des ordonnées de signes différents. • Chercher une période plus courte. Le cosinus et le sinus ont pour période 360^ et non 180^ : à 180^, le point est à l'opposé, pas au même endroit.

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