Propriétés de bilinéarité et de symétrie du produit scalaire

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Symétrie : uv = vu. • Bilinéarité : u(v + w) = uv + uw. • (ku)(kv) = k^2(uv) : deux coefficients, donc un carré. • uv = \|u\|^2 + \|v\|^2 - \|u - v\|^22 : trois longueurs suffisent.

Le cours

1. Les propriétés qui évitent le calcul direct Le produit scalaire est un calcul sur les vecteurs qui se comporte comme un produit de nombres. C'est cette régularité qui permet de déduire un produit inconnu à partir de produits déjà calculés, sans jamais passer par les coordonnées. • Symétrie : uv = vu. • Bilinéarité : u(v + w) = uv + uw. • Homogénéité : (ku)v = k(uv) et donc (ku)(kv) = k^2(uv). • Carré scalaire : uu = \|u\|^2 ; le produit scalaire d'un vecteur par lui-même donne le carré de sa norme. 2. Deux conséquences très utilisées en mécanique Quand on connaît les normes de deux vecteurs et la norme de leur somme, on peut retrouver leur produit scalaire sans jamais connaître un angle. C'est le raccourci le plus rentable sur un plan de transmission. • \|u + v\|^2 = \|u\|^2 + 2(uv) + \|v\|^2 • \|u - v\|^2 = \|u\|^2 - 2(uv) + \|v\|^2 • (u + v)(u - v) = \|u\|^2 - \|v\|^2 • En isolant le produit scalaire : uv = \|u\|^2 + \|v\|^2 - \|u - v\|^22. 3. Méthode : décomposer avant de calculer • 1. Écrire le vecteur dont on cherche le produit scalaire comme une somme de vecteurs déjà connus, par exemple OB = OA + AB. • 2. Développer le produit scalaire avec la bilinéarité, sans calculer de produit intermédiaire. • 3. Vérifier le signe : chaque terme doit être cohérent avec l'angle formé par les vecteurs. • 4. Contrôler avec les coordonnées si elles sont disponibles sur l'épure : les deux voies doivent coïncider. Données disponibles sur le dessinIdentité à utiliserRésultat uv et un multiple k(ku)v = k(uv)Produit multiplié par k \|u\|^2, \|v\|^2 et \|u - v\|^2uv = \|u\|^2 + \|v\|^2 - \|u - v\|^22Produit scalaire exact uw et vw(u + v)wSomme des deux produits \|u\|, \|v\| et uv\|u + v\|^2 = \|u\|^2 + 2\,uv + \|v\|^2Le facteur 2 est indispensable 4. Pièges de manipulation • Oublier le facteur 2. En développant (u+v)(u+v), on obtient uv et vu, égaux par symétrie : d'où le terme 2\,uv. • Écrire (ku)(kv) = k(uv). Il y a deux facteurs k : le résultat est multiplié par k^2. • Utiliser la symétrie sur une différence. On peut permuter les vecteurs dans un produit scalaire, mais pas changer un signe : u(-v) = -(uv).

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