Ensemble des nombres réels et besoin d'un nombre non réel de classe de 3e

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• L'équation x^2 = -16 n'a pas de solution dans R : les réels sont alors insuffisants. • Un point du plan se décrit par deux coordonnées signées, l'abscisse et l'ordonnée, qui peuvent être négatives. • Un système technique qui fournit deux informations à la fois (amplitude et position, valeur et correction) explique pourquoi les nombres réels ne suffisent plus et motive la construction d'un ensemble plus large.

Le cours

1. Ce que l'on sait déjà faire avec les réels Depuis le collège, on manipule des nombres réels (leur ensemble est noté R) : entiers, décimaux, fractions, puissances et racines carrées des nombres positifs. Toutes les longueurs, toutes les masses et toutes les intensités du laboratoire s'expriment avec eux. • 9 = 3 : la racine carrée n'est définie que pour un nombre positif ou nul. • 0,75 et 3/4 sont deux écritures du même nombre réel ; 2 et sont des réels qui ne s'écrivent pas sous forme de fraction. • L'équation x^2 = 9 a deux solutions réelles : x = 3 et x = -3. 2. Le premier obstacle : une équation sans solution Le régulateur de la station de traitement calcule un écart e entre une consigne et une mesure, et cherche l'instant où cet écart s'annule. La loi du capteur conduit à l'équation e^2 + 6e + 13 = 0. • On réécrit le membre de gauche : e^2 + 6e + 13 = (e+3)^2 + 4, donc l'équation équivaut à (e+3)^2 = -4. • Le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul : il ne peut jamais valoir -4. • Aucun réel e ne convient : l'équation n'a aucune solution dans R. • Il faut donc construire un ensemble de nombres plus large que les réels. 3. Une piste : repérer avec deux nombres Un point du plan ne se repère pas avec un seul réel : il faut deux coordonnées signées, l'abscisse et l'ordonnée. C'est cette idée qui servira à construire les nouveaux nombres : chacun sera décrit par deux réels. • Une coordonnée peut être négative : un point 3 cm à gauche de l'axe vertical a pour abscisse -3. • Deux nombres ordonnés décrivent complètement une position : (-3\,;\,4) signifie 3 cm à gauche et 4 cm au-dessus. • Les nouveaux nombres, appelés complexes, s'écriront avec deux réels, par exemple -3 + 4i : un réel « ordinaire » et un multiple d'un nouveau symbole i. SituationDans les réelsAvec un nombre complexe x^2 = 16deux solutions : 4 et -4les deux mêmes x^2 = -16aucune solutiondeux solutions non réelles e^2 + 6e + 13 = 0aucune solutiondeux solutions non réelles 4. Ce que l'on garde de la classe de 3e Tout ce qui a été appris sur les réels reste vrai : on continuera à additionner, multiplier, simplifier et factoriser. La seule nouveauté est l'arrivée d'un symbole supplémentaire, noté i, qui ne se trouve dans aucune écriture des nombres réels. • Les puissances de dix, la distributivité et les fractions restent des outils utilisables tels quels. • Une distance reste un réel positif ou nul : une distance négative dans un résultat signale une erreur de modèle ou de calcul. • La résolution d'équations ne s'arrête donc pas aux réels : elle change simplement d'ensemble de nombres.

Dans ce chapitre