Construction de l'ensemble des nombres complexes

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Tout nombre complexe s'écrit z = a + bi avec a et b réels, ce qui définit l'ensemble C. • Les puissances de i se répètent tous les quatre rangs : i^0 = 1, i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, puis i^4 = 1. • Un complexe se représente par le point d'abscisse a et d'ordonnée b dans le plan complexe.

Le cours

1. Le nombre qui manquait : l'unité imaginaire Pour agrandir l'ensemble des réels, on adjoint un nombre noté i, défini par la seule règle i^2 = -1. Cette règle suffit ensuite à écrire tous les calculs, exactement comme on calcule avec des nombres réels. • i s'appelle l'unité imaginaire ; il est différent de zéro, donc il peut servir de diviseur. • i^3 = i^2 i = -i et i^4 = i^3 i = 1 : les puissances de i se répètent tous les quatre rangs. • -1 et i^2 sont deux écritures du même nombre : multiplier par i deux fois change le signe. 2. L'ensemble des nombres complexes Un nombre complexe est un nombre qui s'écrit z = a + bi, avec a et b réels. L'ensemble de tous ces nombres se note C et il contient les nombres réels. • C = \ a + bi a R et b R \ : deux réels suffisent à décrire un complexe. • Tout réel r est un complexe particulier, écrit r = r + 0i. • R est contenu dans C : les calculs sur les réels restent valables sans aucune règle supplémentaire. 3. Un nombre complexe est un point Pour dessiner le nombre a + bi, on place le point d'abscisse a et d'ordonnée b. Le plan ainsi muni s'appelle le plan complexe : l'axe horizontal est celui des réels, l'axe vertical celui des imaginaires. • 3 + 4i est le point situé 3 unités à droite et 4 unités au-dessus de l'origine. • -1 + 2i est à gauche de l'axe vertical et au-dessus de l'axe horizontal. • Les points situés sur l'axe vertical sont exactement les complexes dont la partie réelle est nulle. 1 2 3 -1 1 2 -1 O axe des réels : a axe des imaginaires : b A : 3 + 4i 4 i 4. Ce qui change et ce qui ne change pas L'arrivée du symbole i ne supprime aucune règle : la distributivité, les parenthèses et les fractions s'appliquent comme avant. Seule la règle supplémentaire i^2 = -1 est à retenir. • Il n'y a pas d'ordre entre nombres complexes : dire que 2 + i est « plus grand » que 3 n'a pas de sens ; on peut seulement dire si deux complexes sont égaux, en comparant leurs coordonnées. • 1 + i est bien la somme de 1 et de i, mais cette somme ne se simplifie pas en un seul terme : 1 + i 2 et 1 + i 2i. • Ne pas confondre l'unité imaginaire i avec la lettre i d'un indice ou d'une intensité : en électricité, on note souvent l'unité imaginaire j pour éviter cette confusion.

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