Forme développée et forme factorisée d'un produit de complexes

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Un même produit s'écrit sous forme factorisée (a + bi)(c + di) ou sous forme développée (ac - bd) + (ad + bc)i. • La forme factorisée conserve les facteurs : elle donne directement le module (produit des modules) et les valeurs qui annulent le produit. • (z - (a + bi))(z - (a - bi)) = z^2 - 2az + a^2 + b^2 : un produit par un conjugué donne des coefficients réels. • Une fraction complexe se simplifie d'abord sous forme factorisée, en n'oubliant pas la condition d'existence.

Le cours

1. Deux écritures pour un même produit Un produit de nombres complexes peut s'écrire de deux façons : la forme factorisée, où les facteurs restent visibles, et la forme développée, où il ne reste qu'un terme réel et un terme en i. • Forme factorisée : (3 + 2i)(1 - 4i), qui garde la trace des deux facteurs. • Forme développée : 11 - 10i, qui donne directement les parties réelle et imaginaire. • Les deux écritures décrivent exactement le même nombre : changer de forme ne change pas la valeur. (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i 2. À quoi sert la forme factorisée Développer est utile pour lire les parties réelle et imaginaire, mais cela fait disparaître les facteurs : la forme factorisée est préférable dès que la question porte sur une propriété du produit. • Le module d'un produit se lit sur la forme factorisée : |(3 + 2i)(1 - 4i)| = 13 17. • Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : (z - 2i)(z + 1) = 0 z = 2i ou z = -1. • Une expression complexe se simplifie d'abord sous forme factorisée, exactement comme une expression réelle. 3. Cas particulier : le produit par un conjugué Multiplier un facteur par son conjugué donne une expression à coefficients réels, propriété très utilisée pour décrire un système du second ordre. • (z - 3 - 2i)(z - 3 + 2i) = z^2 - 6z + 13 : les coefficients 6 et 13 sont réels. • Le terme constant vaut a^2 + b^2, c'est-à-dire le carré de la distance du point à l'origine. • Pour z = 0, ce produit vaut 13, ce qui est bien 3^2 + 2^2. (z - (a + bi))(z - (a - bi)) = z^2 - 2az + a^2 + b^2 4. Simplifier avant de calculer Une fraction complexe se simplifie comme une fraction réelle : on factorise le numérateur, on regarde ce qui se simplifie, et seulement ensuite on calcule. • (z + 3i)(z - 3i)/z - 3i = z + 3i dès que z 3i. • La condition z 3i fait partie de la réponse : en ce point l'expression de départ n'existe pas. • Développer d'abord un numérateur contenant un produit conduit à des calculs longs et inutiles. Forme factoriséePartie réellePartie imaginaireForme développée (3 + 2i)(1 - 4i)3 + 8 = 11-12 + 2 = -1011 - 10i (z - 3 - 2i)(z - 3 + 2i)dépend de zdépend de zz^2 - 6z + 13 (4 + 0i)(2 - i)8-48 - 4i

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