Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes : forme algébrique, conjugué et opérations

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Écriture algébrique z = a + bi, parties réelle et imaginaire, égalité par comparaison des parties. • Conjugué, addition et soustraction, multiplication avec i^2 = -1, division par le conjugué du dénominateur. • Module : |z| = a^2+b^2 et |z_1 z_2| = |z_1| |z_2| ; jamais de développement pour un module. • Racine carrée : système x^2 - y^2 = a, 2xy = b, deux racines opposées. • Contrôle systématique : module, substitution, ou remplacement dans l'équation de l'énoncé.

Le cours

1. La boîte à outils du chapitre Tout se joue sur l'écriture algébrique z = a + bi et sur les deux parties. Une fois l'écriture réduite, chaque opération a sa règle et son contrôle. • Parties : Re(z) = a et Im(z) = b ; égalité si et seulement si les deux parties coïncident. • Conjugué : a + bi = a - bi, qui change le seul signe de la partie imaginaire. • Addition et soustraction : parties par parties, sans jamais toucher au i. • Multiplication : (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i avec i^2 = -1. • Division : multiplier par le conjugué du dénominateur, qui devient le réel a^2 + b^2. • Module : |z| = a^2 + b^2, qui se calcule facteur par facteur sur un produit. • Racine carrée : x^2 - y^2 = a et 2xy = b, puis x^2 + y^2 = |Z|. 2. Méthode générale en cinq étapes Quel que soit l'énoncé, l'ordre des opérations ne change pas, et c'est lui qui évite les erreurs. • Étape 1 : écrire le nombre sous la forme a + bi, en remplaçant chaque i^2 par -1. • Étape 2 : lire ou chercher la partie réelle et la partie imaginaire. • Étape 3 : appliquer l'opération demandée avec sa règle propre. • Étape 4 : réduire le résultat à la forme a + bi, terme réel en premier. • Étape 5 : contrôler par le module, ou en remplaçant dans l'énoncé. OpérationRègleAppliquée à z_1 = 3 - 4i et z_2 = 1 + 2i Sommeparties par parties4 - 2i Produitac - bd et ad + bc11 + 2i Quotientmultiplier par z'-1 - 2i Modulea^2 + b^2|z_1| = 5 Conjuguéchanger le signe de b3 + 4i Racine carrée de 3 + 4ix^2 - y^2 = 3 et 2xy = 42 + i et -2 - i 3. Les cinq erreurs à éviter Ces erreurs sont les plus fréquentes dans les copies ; chacune se détecte par un contrôle simple. • Écrire la partie imaginaire avec le i, ou l'oublier dans un terme réduit. • Multiplier par le dénominateur au lieu de son conjugué : le dénominateur ne devient pas réel. • Additionner des modules, ou poser |z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2|. • Oublier l'opposé d'une racine carrée, qui est toujours aussi solution. • Supprimer une condition d'existence en simplifiant une fraction. 4. Application : contrôler les résultats du tableau Avec z_1 = 3 - 4i et z_2 = 1 + 2i, chaque résultat du tableau se contrôle en une ligne, sans refaire le calcul. • Produit : |z_1| |z_2| = 55 et |11 + 2i| = 125 = 55 : les modules concordent. • Quotient : |-1 - 2i| = 5 = 55 = |z_1|/|z_2| ; une partie réelle négative n'a rien d'anormal, même si z_1 et z_2 ont des parties réelles positives. • Racines carrées : (2 + i)^2 = 4 + 4i + i^2 = 3 + 4i, et l'opposé -2 - i a le même carré ; ce nombre 3 + 4i est justement z_1.

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