Addition et soustraction de nombres complexes

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i et (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i. • Additionner revient à additionner les parties réelles d'une part, les parties imaginaires d'autre part. • En série, les impédances s'additionnent : Z_total = Z_1 + Z_2. • z + (-z) = 0 : l'annulation d'une somme donne deux nombres opposés, pas deux nombres égaux.

Le cours

1. La règle : deux additions indépendantes Additionner ou soustraire deux nombres complexes revient à additionner ou soustraire leurs parties, sans toucher au facteur i. • (3 + 2i) + (-1 + 5i) = 2 + 7i : on a fait 3 + (-1) = 2 et 2 + 5 = 7. • (8 - 4i) - (2 - 3i) = 6 - i : le signe moins s'applique aux deux parties, car -(2 - 3i) = -2 + 3i. • 5 - (5 - 2i) = 2i : le terme en i change lui aussi de signe. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i 2. Conséquences utiles L'addition se comporte comme une addition de nombres ordinaires, y compris pour les opposés, l'élément neutre et le conjugué. • z + (-z) = 0 et z + 0 = z : l'opposé et le zéro se calculent sans règle particulière. • z_1 + z_2 = z_1 + z_2 : le conjugué se distribue sur une somme. • Re(z_1 + z_2) = Re(z_1) + Re(z_2), et de même pour la partie imaginaire. 3. Application : impédances en série Deux impédances montées en série s'additionnent : c'est la traduction directe de la règle précédente. • En série : Z_total = Z_1 + Z_2, partie par partie. • En dérivation, ce sont les intensités complexes qui s'additionnent (loi des nœuds) : I = I_1 + I_2. • Point de contrôle : le résultat garde l'unité de la loi, et ses parties doivent signifier la même chose que celles des termes additionnés. 4. Pièges d'addition La partie imaginaire d'une somme est la somme des parties imaginaires : elle peut donc diminuer alors que la partie réelle augmente. • Additionner des modules n'a pas le même effet qu'additionner des complexes : le résultat n'est pas la somme des modules. • Oublier de changer le signe de la partie imaginaire en soustrayant donne un résultat faux mais plausible. • z_1 + z_2 = 0 ne signifie pas z_1 = z_2, mais z_1 = -z_2. OpérationPartie réellePartie imaginaireRésultat (3 + 2i) + (-1 + 5i)3 + (-1) = 22 + 5 = 72 + 7i (8 - 4i) - (2 - 3i)8 - 2 = 6-4 + 3 = -16 - i (5 + i) + (-5 - i)5 - 5 = 01 - 1 = 00 4 - (4 + 6i)4 - 4 = 00 - 6 = -6-6i

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