Module d'un nombre complexe et propriétés de calcul

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• |a + bi| = a^2 + b^2 : le module est la distance du point à l'origine, donc une longueur positive ou nulle. • |z|^2 = Re(z)^2 + Im(z)^2 donne le carré du module sans racine, par le théorème de Pythagore. • |z_1 z_2| = |z_1| |z_2| et |z_1/z_2| = |z_1|/|z_2| : ne jamais développer pour connaître un module. • |z_1 + z_2| n'est pas en général |z_1| + |z_2| : on a seulement |z_1 + z_2| |z_1| + |z_2|.

Le cours

1. Une distance : le module Le module d'un nombre complexe est la distance du point correspondant à l'origine du plan complexe. Cette distance se calcule avec le théorème de Pythagore. • |z| = a^2 + b^2 pour z = a + bi. • |z| = 0 uniquement si z = 0 : le module est une longueur. • z z = a^2 + b^2 = |z|^2 : le carré du module s'obtient sans racine. O R = 30 X = 40 module = 50 Z = R + iX axe des réels axe des imaginaires 2. Propriétés de calcul Les propriétés du module permettent de traiter des expressions longues sans jamais les développer. • |z| = |-z| = |z| : ni le signe ni le conjugué ne changent la longueur. • |z_1 z_2| = |z_1| |z_2| : le module d'un produit est le produit des modules. • |z_1/z_2| = |z_1|/|z_2| pour z_2 0. • |z^n| = |z|^n pour tout entier naturel n : c'est la règle du produit appliquée n fois. • |z|^2 = Re(z)^2 + Im(z)^2 est la forme la plus utile en atelier, car elle ne demande aucune racine. 3. Lecture sur un diagramme d'impédance Sur le diagramme d'une impédance, le module est l'hypoténuse du triangle rectangle construit sur la partie réelle et la partie imaginaire. • Z = 30 + i\,40 a pour module 900 + 1600 = 50 : le triplet 3, 4, 5 donne un module entier. • Un appareil qui affiche 50\ donne le module et non la partie réelle : une mesure complémentaire est nécessaire. • Le module d'une somme est au plus égal à la somme des modules : |z_1 + z_2| |z_1| + |z_2|, c'est l'inégalité triangulaire. 4. Pièges de calcul Le module est une longueur : il ne peut jamais être négatif, et il ne se comporte pas comme une somme. • |z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2| est faux : |1 + i| = 2 1,41 alors que |1| + |i| = 2. • Calculer une racine quand la question porte sur |z|^2 : la racine n'est utile que si une longueur est demandée. • Confondre a^2 + b^2 et |z| : le premier est le carré du module, le second le module lui-même.

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