Conjugué d'un nombre complexe et effet sur sa partie imaginaire

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• a + bi = a - bi : seul le signe de la partie imaginaire change. • Re(z) = Re(z) et Im(z) = -Im(z). • z + z est un nombre réel et z - z est un imaginaire pur. • z z = Re(z)^2 + Im(z)^2 est un nombre réel : c'est cette identité qui sert à diviser.

Le cours

1. Le conjugué : changer le signe de la partie imaginaire Le conjugué d'un nombre complexe s'obtient en changeant le signe du seul terme en i. • z = 5 - 3i a pour conjugué z = 5 + 3i. • -2 - 4i = -2 + 4i : la partie réelle garde son signe. • 6 = 6 : un nombre réel est son propre conjugué. a + bi = a - bi 2. Effet sur les deux parties Conjuguer ne touche qu'une partie du nombre : c'est ce qui rend le conjugué rapide à construire et commode à manipuler. • Re(z) = Re(z) : la partie réelle est inchangée. • Im(z) = -Im(z) : la partie imaginaire change de signe. • z + z = 2a est un nombre réel, et z - z = 2bi est un imaginaire pur. 3. Un symétrique dans le plan complexe Conjuguer revient à réfléchir un point par rapport à l'axe des réels : l'abscisse est conservée, l'ordonnée change de signe. • M(3\,;\,2) et son image M'(3\,;\,-2) sont à la même distance de l'axe des réels. • Le milieu du segment qui les relie est situé sur l'axe des réels, en (3\,;\,0). • L'imaginaire pur 3i a pour conjugué -3i, qui est aussi son opposé : les deux points sont symétriques par rapport à l'axe des réels, et donc aussi par rapport à l'origine. 1 2 3 milieu 1 2 -1 O M : 3 + 2i M' : 3 - 2i axe des réels axe des imaginaires 4. Pourquoi le conjugué est l'outil le plus utile Le produit d'un nombre complexe par son conjugué fait disparaître le terme en i. Cette propriété est la clé de la division. • z z = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 est un nombre réel positif. • Un appareil qui affiche le conjugué d'une impédance livre la résistance exacte et la réactance de signe opposé. • Conjuguer n'est pas prendre l'inverse : pour z = 2, on a z = 2 alors que 1/z = 0,5.

Dans ce chapitre

• Ensemble des nombres réels et besoin d'un nombre non réel de classe de 3e
• Calcul littéral sur les nombres décimaux de classe de 4e
• Équations du premier degré dans une inconnue de classe de 3e
• Construction de l'ensemble des nombres complexes
• Écriture algébrique a + bi et parties réelle et imaginaire
• Égalité de deux nombres complexes
• Conjugué d'un nombre complexe et effet sur sa partie imaginaire
• Addition et soustraction de nombres complexes
• Multiplication de nombres complexes
• Forme développée et forme factorisée d'un produit de complexes
• Division de nombres complexes par un nombre non nul
• Module d'un nombre complexe et propriétés de calcul
• Racine carrée d'un nombre complexe par identification partie réelle et imaginaire
• Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes : forme algébrique, conjugué et opérations