Multiplication de nombres complexes

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i : quatre termes se distribuent, puis i^2 devient -1. • La partie réelle est ac - bd et la partie imaginaire est ad + bc : les deux coefficients se croisent. • i i = -1 est la seule règle propre aux nombres complexes dans un produit. • Un produit de deux imaginaires purs est un réel négatif : (2i)(3i) = -6.

Le cours

1. La règle : distribuer, puis remplacer i² Multiplier deux nombres complexes revient à multiplier comme des nombres ordinaires, avec une seule règle supplémentaire : i^2 = -1. • (2 + 3i)(1 - 2i) = 8 - i : la partie réelle vaut 2 1 - 3 (-2) = 8 et la partie imaginaire vaut 2 (-2) + 3 1 = -1. • Le terme en i s'obtient en croisant les facteurs : c'est la distributivité qui le fait apparaître. • i i = -1 : c'est le seul endroit du calcul où la règle i^2 = -1 intervient. (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bd\,i^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i 2. Ce que dit le résultat Un produit n'est pas un nombre réel en général : la partie réelle et la partie imaginaire se mélangent, et leur signe dépend des signes des facteurs. • (2i)(3i) = 6i^2 = -6 : le produit de deux imaginaires purs est un réel négatif. • (1 - i)(1 + i) = 1 - i^2 = 2 : le terme en i disparaît, car i et -i se compensent. • z^2 est un produit : il se distribue, et il ne faut pas le confondre avec 2z. 3. Application : le gain d'une chaîne de traitement Une chaîne décrite par des nombres complexes se compose par multiplication : le gain total est le produit des gains de chaque étage. • G = G_1 G_2 se calcule avec la même règle qu'un produit quelconque. • (3 - 4i)(1 + 2i) = 11 + 2i : le gain obtenu n'est ni réel ni imaginaire pur. • Contrôle : le module du gain total vaut 5 5 11,2, et 11^2 + 2^2 donne la même valeur. 4. Pièges de multiplication La distributivité donne quatre termes, dont deux sont en i : les réduire est la moitié du travail. • Oublier le terme -6i^2, qui vaut +6, conduit à écrire (2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - i au lieu de 8 - i. • Prendre ac comme partie réelle : il faut ajouter -bd, et c'est souvent un terme de signe opposé. • Traiter 3i comme 3 + i : le coefficient multiplie le i, il ne s'y ajoute pas. ProduitPartie réellePartie imaginaireRésultat (2 + 3i)(1 - 2i)2 + 6 = 8-4 + 3 = -18 - i (3 + 2i)(1 - 4i)3 + 8 = 11-12 + 2 = -1011 - 10i (2i)(3i)-60-6 (3 - 2i)^29 - 4 = 5-125 - 12i

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