Racine carrée d'un nombre complexe par identification partie réelle et imaginaire

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• w^2 = a + bi équivaut au système x^2 - y^2 = a et 2xy = b pour w = x + yi. • En élevant au carré et en additionnant, on obtient x^2 + y^2 = a^2 + b^2, puis x^2 et y^2 par addition et soustraction. • Le signe de x et de y est imposé par 2xy = b : mêmes signes si b > 0, signes contraires si b < 0. • Les deux racines sont toujours opposées, et le contrôle |w|^2 = |Z| doit être vérifié.

Le cours

1. Chercher un nombre dont le carré vaut Z Une racine carrée d'un nombre complexe Z est un nombre complexe w tel que w^2 = Z. On la cherche en écrivant w = x + yi et en comparant les parties. • (x + yi)^2 = (x^2 - y^2) + 2xyi donne le système x^2 - y^2 = a et 2xy = b. • Une racine n'est jamais seule : l'opposé -w est aussi racine, car (-w)^2 = w^2. • Il y a donc toujours deux racines opposées, sauf si Z = 0. w^2 = Z (x^2 - y^2) + 2xyi = a + bi 2. La méthode par identification Les deux équations du système contiennent des carrés et un produit. En les élevant au carré puis en les additionnant, on obtient une équation sans produit. • Étape 1 : x^2 - y^2 = a et 2xy = b. • Étape 2 : en élevant au carré et en additionnant, x^2 + y^2 = a^2 + b^2. • Étape 3 : par addition et soustraction, x^2 = a^2+b^2+a2 et y^2 = a^2+b^2-a2. • Étape 4 : le signe est fixé par 2xy = b : mêmes signes si b > 0, signes contraires si b 3. Le cas où la partie imaginaire est nulle Lorsque b = 0, l'équation 2xy = 0 impose qu'une des deux parties soit nulle : les racines sont alors soit réelles, soit imaginaires pures. • Si a > 0 : les racines sont a et il n'existe aucune racine non réelle. • Si a • Si a = 0 : la seule racine est 0, car son carré vaut 0. 4. Pièges et contrôle Une racine carrée se donne toujours avec son opposé, et le signe des parties se déduit du signe de b. • Donner une seule racine : il y en a toujours deux, opposées. • Choisir x et y de même signe quand b • Le symbole radical est réservé aux réels positifs ou nuls : on n'écrit jamais -9, on dit que les racines carrées de -9 sont 3i et -3i. • Contrôle : si w est racine de Z, alors |w|^2 = |Z|, ce qui fournit une vérification immédiate. Nombre Zx^2 - y^22xyRacines -7 + 24i-7243 + 4i et -3 - 4i 7 - 24i7-244 - 3i et -4 + 3i 15 - 8i15-84 - i et -4 + i 9903 et -3

Dans ce chapitre

• Ensemble des nombres réels et besoin d'un nombre non réel de classe de 3e
• Calcul littéral sur les nombres décimaux de classe de 4e
• Équations du premier degré dans une inconnue de classe de 3e
• Construction de l'ensemble des nombres complexes
• Écriture algébrique a + bi et parties réelle et imaginaire
• Égalité de deux nombres complexes
• Conjugué d'un nombre complexe et effet sur sa partie imaginaire
• Addition et soustraction de nombres complexes
• Multiplication de nombres complexes
• Forme développée et forme factorisée d'un produit de complexes
• Division de nombres complexes par un nombre non nul
• Module d'un nombre complexe et propriétés de calcul
• Racine carrée d'un nombre complexe par identification partie réelle et imaginaire
• Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes : forme algébrique, conjugué et opérations