Égalité de deux nombres complexes

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• z = z' a = a' et b = b' : l'égalité exige l'égalité des deux parties, réelle et imaginaire. • Il suffit qu'une seule partie diffère pour que les deux nombres complexes soient distincts. • Une même valeur peut s'écrire de plusieurs manières : 0 + 6i et 6i désignent le même nombre. • Comparer des coordonnées revient à comparer des points du plan complexe.

Le cours

1. Deux complexes sont égaux si leurs coordonnées coïncident Soient z = a + bi et z' = a' + b'i deux nombres complexes écrits sous forme algébrique, où a, b, a' et b' sont des réels : cette condition est indispensable pour comparer les parties. • z = z' a = a' et b = b' : deux conditions, jamais une seule. • 1 + i 1 + 2i car les parties imaginaires diffèrent. • 3(1 + i) = 3 + 3i : la multiplication se distribue, les coordonnées suivent. z = z' a = a' et b = b' 2. Pourquoi cette règle est naturelle Un nombre complexe représente un point du plan complexe. Deux points sont confondus exactement lorsque leurs deux coordonnées sont égales : la règle d'égalité n'est donc rien d'autre que l'égalité des coordonnées. • 2 + 3i 2 - 3i : même abscisse, mais ordonnées opposées, donc deux points distincts. • 0 + 4i et 4i désignent le même nombre : l'écriture varie, la valeur reste. • 2(1 - 3i) et 2 - 6i désignent le même nombre, car les deux réductions donnent les mêmes coordonnées. 3. Méthode pour prouver une égalité Une identité se démontre, elle ne se devine pas : on réduit les deux membres puis on compare. • Étape 1 : écrire les deux membres sous forme algébrique réduite. • Étape 2 : comparer les parties réelles, puis les parties imaginaires. • Étape 3 : conclure à l'égalité seulement si les deux comparaisons sont favorables. • Pour prouver que deux nombres sont différents, une seule partie différente suffit. • Pour trouver des réels inconnus : si x et y sont réels et (2x - 1) + (y + 3)i = 5 - i, alors 2x - 1 = 5 et y + 3 = -1, donc x = 3 et y = -4. • Cas utile : a + bi = 0 a = 0 et b = 0, pour a et b réels. 4. Pièges de comparaison La comparaison porte sur les coordonnées signées, jamais sur une valeur absolue ni sur un module. • |-2| = |2| = 2, mais -2 2 : les parties réelles 2 et -2 sont différentes. • 2 + i 2 - i : une seule partie différente suffit à conclure. • Être à la même distance de l'origine ne suffit pas : 3 + 4i et 4 + 3i sont tous deux à la distance 5 de l'origine, et pourtant 3 + 4i 4 + 3i. Premier nombreSecond nombreÉgalitéPartie qui diffère 4 + 2i2 + 4inonréelle et imaginaire 3 - 5i3 - 5iouiaucune 0 + 6i6iouiaucune -2 + i2 - inonles deux

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