Division de nombres complexes par un nombre non nul

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Pour diviser, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, avec z' 0. • Après cette multiplication, le dénominateur est le réel Re(z')^2 + Im(z')^2. • Le résultat d'un quotient est encore un nombre complexe : il a donc une partie réelle et une partie imaginaire. • L'impédance d'une branche s'obtient par Z = UI.

Le cours

1. Le principe : rendre le dénominateur réel Diviser deux nombres complexes ne demande aucune règle nouvelle : on multiplie les deux termes de la fraction par le conjugué du dénominateur. • Le dénominateur devient alors un nombre réel : la division se ramène à une division connue. • La condition z' 0 est obligatoire : on ne divise jamais par zéro. • Le conjugué du dénominateur, et non le dénominateur lui-même, est le multiplicateur utile. z/z' = z z'z' z' = z z'Re(z')^2 + Im(z')^2 2. Un exemple conduit pas à pas Pour 1 + 2i/1 - 2i, le conjugué du dénominateur est 1 + 2i, et le dénominateur devient 1^2 + 2^2 = 5. • 1 + 2i/1 - 2i = (1 + 2i)(1 + 2i)/5 = -3 + 4i/5 = -0,6 + 0,8i. • Le numérateur se calcule comme un produit ordinaire, sans oublier que i^2 = -1. • Le résultat est à nouveau sous forme algébrique, avec deux parties. 3. Application : l'impédance vue de l'amont L'impédance d'une branche s'obtient en divisant la tension par le courant. Lorsque ces grandeurs sont décrites par des nombres complexes, la division se conduit exactement comme ci-dessus. • Avec U = 10 + 30i et I = 1 + i : Z = (10 + 30i)(1 - i)/1^2 + 1^2 = 40 + 20i/2 = 20 + 10i. • Le quotient de deux nombres complexes peut être un nombre réel : il faut le vérifier, jamais le supposer. • Si Z est réel, la tension et le courant sont en phase : le dipôle se comporte comme une simple résistance. 4. Pièges de division La multiplication du numérateur et du dénominateur par le même nombre ne change pas la valeur de la fraction, à condition que ce nombre ne soit pas nul. • Multiplier par le dénominateur au lieu de son conjugué : le dénominateur reste complexe et rien n'est simplifié. • Oublier la condition z' 0 dans la réponse. • Diviser séparément les parties : 8 - 6i/4 + 2i ne vaut pas 2 - 3i ; le calcul correct donne (8 - 6i)(4 - 2i)/20 = 20 - 40i/20 = 1 - 2i. QuotientConjugué du dénominateurDénominateur obtenuRésultat 1 + 2i/1 - 2i1 + 2i5-0,6 + 0,8i 3 + 4i/-2i2i4-2 + 1,5i 8 - 6i/3 + 4i3 - 4i25-2i

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