Écriture algébrique a + bi et parties réelle et imaginaire

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• La forme algébrique s'écrit z = a + bi avec a et b réels : c'est l'écriture de référence. • Re(z) = a est la partie réelle et Im(z) = b la partie imaginaire : ce sont deux nombres réels. • b = 0 caractérise un réel, a = 0 un imaginaire pur. • Réduire une expression, c'est remplacer chaque i^2 par -1 puis regrouper les réels et les termes en i.

Le cours

1. Les deux nombres qui décrivent un complexe Un nombre complexe s'écrit z = a + bi : on appelle cette écriture la forme algébrique. Le réel a est la partie réelle, notée Re(z), et le réel b est la partie imaginaire, notée Im(z). • Re(z) = a et Im(z) = b : ce sont deux nombres réels, jamais des nombres complexes. • 3 - 5i a pour partie réelle 3 et pour partie imaginaire -5. • b = 0 donne un nombre réel, a = 0 donne un imaginaire pur. 2. La notation de l'ingénieur : l'impédance Une grandeur décrite par une partie résistive et une partie liée au déphasage s'écrit naturellement sous forme algébrique. On la souligne, comme une impédance : Z = R + iX. • R est la résistance en ohms, X la réactance en ohms : les deux parties partagent la même unité. • Z = 40 - i\,12 décrit un circuit de résistance 40\ et de réactance -12\ . • Un appareil qui affiche 40 - i\,12 livre donc deux grandeurs en une seule lecture. 3. Réduire une écriture à la forme algébrique Réduire une expression consiste à remplacer chaque i^2 par -1, puis à regrouper séparément les termes réels et les termes en i. • -i(3 - 2i) = -3i + 2i^2 = -3i - 2 = -2 - 3i : le terme réel passe en premier. • 4 + 3i - 2 + i = 2 + 4i : on regroupe les réels entre eux et les imaginaires entre eux. • i(1 - i) = i - i^2 = i + 1 = 1 + i. 4. Pièges d'écriture Une fois l'écriture réduite, plus rien ne doit gêner la lecture : deux termes, un réel en premier, un signe devant i. • La partie imaginaire est b, pas bi : pour z = 3 + 4i, on a Im(z) = 4. • On écrit le terme réel en premier : 2 - 3i et non -3i + 2. • -2i a une partie réelle nulle : c'est un imaginaire pur, pas un nombre réel négatif. Nombre complexePartie réellePartie imaginaireNature 5 + 0i50réel 0 - 3i0-3imaginaire pur -2 + 7i-27ni l'un ni l'autre 12 - 0i120réel

Dans ce chapitre

• Ensemble des nombres réels et besoin d'un nombre non réel de classe de 3e
• Calcul littéral sur les nombres décimaux de classe de 4e
• Équations du premier degré dans une inconnue de classe de 3e
• Construction de l'ensemble des nombres complexes
• Écriture algébrique a + bi et parties réelle et imaginaire
• Égalité de deux nombres complexes
• Conjugué d'un nombre complexe et effet sur sa partie imaginaire
• Addition et soustraction de nombres complexes
• Multiplication de nombres complexes
• Forme développée et forme factorisée d'un produit de complexes
• Division de nombres complexes par un nombre non nul
• Module d'un nombre complexe et propriétés de calcul
• Racine carrée d'un nombre complexe par identification partie réelle et imaginaire
• Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes : forme algébrique, conjugué et opérations