Rapport trigonométrique et cercle trigonométrique de classe de 3e

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Sur le cercle unité de centre O : M(\;;\ ), cosinus en abscisse, sinus en ordonnée. • Segment de longueur r à l'angle : projection horizontale a = r, projection verticale b = r. • Validité d'une lecture : a^2 + b^2 = r^2, donc r = a^2 + b^2. • Remarquables : à 30^, = 0,866 et = 0,5 ; à 60^ les valeurs sont inversées ; à 45^ elles valent 0,707.

Le cours

1. Lire un angle sur le cercle, pas seulement dans un triangle Toute la première partie du chapitre repose sur une seule figure : le cercle de centre O et de rayon 1, gradué en degrés dans le sens direct. Pour un angle , le point M du cercle a pour coordonnées M(\;;\ ). Le cosinus se lit donc horizontalement, le sinus verticalement. En sciences industrielles, on ne cherche presque jamais l'angle tout seul : on mesure un segment, sa projection horizontale et sa projection verticale. L'angle du segment par rapport à l'axe horizontal est alors celui dont le cosinus est le rapport projection horizontale sur longueur, et le sinus est le rapport projection verticale sur longueur. • Sur le cercle unité, les deux coordonnées de M sont le cosinus et le sinus de l'angle : ^2 + ^2 = 1. • Pour un segment de longueur r orienté à : projection horizontale a = r, projection verticale b = r. • Un couple (a\;;\ b) ne décrit un point du cercle que si a^2 + b^2 = r^2 : c'est le test de validité d'une lecture. • Les valeurs remarquables servent de points de contrôle : 0,6 et 0,8 pour un angle de 53,1^, 0,5 et 0,866 pour 60^. 0° 90° 180° 270° θ = 126,9° M -0,6 0,8 cercle unité de rayon 1, gradué de 0° à 360° dans le sens direct Re Im abscisse : -0,6 ordonnée : 0,8 2. Construire un point quadrant par quadrant On ne cherche jamais un point « en plaçant approximativement ». La construction se fait en trois gestes, dans cet ordre, et dans un seul quadrant à la fois. • Je regarde le signe de l'abscisse puis celui de l'ordonnée : il détermine le quadrant, donc la correction à appliquer à l'angle de référence. • Je calcule l'angle repère , angle aigu tel que = |a|/r : il se lit avec la valeur absolue de la projection horizontale. • Je corrige, étant l'angle aigu entre le segment et l'axe horizontal : = au premier quadrant, = 180^ - au deuxième, = 180^ + au troisième et = 360^ - au quatrième. • Je vérifie enfin avec ^2 + ^2 = 1, et je compare le quadrant trouvé à la position réelle du point. Angle Cosinus Sinus Point sur le cercle 0^ 1 0 sur l'axe horizontal, à droite 30^ 32 0,866 1/2 = 0,5 à l'intérieur du premier quadrant 45^ 22 0,707 22 0,707 sur la bissectrice du premier quadrant 60^ 0,5 32 0,866 symétrique du point à 30^ 90^ 0 1 au sommet du cercle 180^ -1 0 à l'opposé de 0^, à gauche Valeurs à connaître par cœur : elles servent de points de contrôle sur une calculatrice de poche. 0° 90° 180° 270° r = 5,0 a = 3,0 b = 4,0 triangle 3 - 4 - 5 : 3,0 et 4,0 pour une longueur de 5,0 Re Im a : projection horizontale b : projection verticale 3. Trois pièges qui coûtent un point à chaque fois Ces trois erreurs reviennent sur tous les exercices du chapitre ; les connaître évite de les commettre. • Inverser cosinus et sinus : le cosinus est l'abscisse, donc la projection horizontale. Prendre b/r pour donne un angle faux mais plausible. • Utiliser la mauvaise projection : la projection horizontale donne le cosinus, la projection verticale donne le sinus. Changer de côté transforme l'angle en son complémentaire, 53,1^ devient 36,9^. • Croire qu'un couple de projections est possible parce qu'il est « petit » : sur le cercle unité il faut ^2 + ^2 = 1, donc le couple (0,6\;;\ 0,6) ne correspond à aucun point.

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