Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Conversion en quatre gestes : quadrant, module, angle repère, correction. • Module d'abord : r = x^2 + y^2, puis seulement l'angle. • Angle repère : = (|y|/|x|), corrigé selon le quadrant trouvé. • Contrôle obligatoire : r = x et r = y.

Le cours

1. La conversion se fait en quatre gestes, jamais en un seul Passer de z = x + yi à z = r( + i) revient à remplacer deux coordonnées par une longueur et une direction. C'est la même opération que celle qui transforme un vecteur du plan en coordonnées polaires, et elle se décompose obligatoirement en quatre étapes : quadrant, module, angle repère, correction. L'ordre compte. Calculer l'angle avant d'avoir placé le point conduit à utiliser la fonction arctangente de la calculatrice, qui renvoie toujours un angle du premier ou du quatrième quadrant ; c'est la raison pour laquelle on corrige à la fin. • Module : r = x^2 + y^2, calculé avant toute question d'angle. • Angle repère : = (|y|/|x|), angle aigu entre [OM) et l'axe des réels. • Correction : premier quadrant , deuxième 180^ - , troisième - 180^, quatrième -. • Contrôle final : comparer r avec x et r avec y. 1. Quadrant x < 0 et y > 0 : deuxième quadrant couple de signes : (négatif, positif) 2. Module r = racine de x² + y² ici racine de 16 + 16 ≈ 5,66 3. Angle repère α construit sur l'axe horizontal α = 45° ici 4. Correction θ = 180° - α = 135° d'où z ≈ 5,66(cos 135° + i sin 135°) 2. Deux méthodes pour l'angle, selon les données Le choix de la méthode dépend de ce que l'on connaît du point : un triplet remarquable, ou une calculatrice. • Si le quotient |y|/|x| vaut 13, 1 ou 3, l'angle repère est remarquable : respectivement 30^, 45^ ou 60^ (car 30^ = 13, 45^ = 1, 60^ = 3). • Sinon, on calcule à la calculatrice avec la fonction arctangente, sur la valeur absolue du quotient, puis on corrige. • Si l'une des deux parties est nulle, le point est sur un axe : l'argument principal vaut 0^, 90^, 180^ ou -90^ selon le demi-axe, sans calcul. • On termine toujours par le contrôle : r doit retrouver x, r doit retrouver y. 0° 90° 180° 270° α = 53,1° θ = -53,1° z 3 -4 l'angle repère se mesure depuis l'axe des réels ; sous cet axe, l'argument principal est négatif Re Im z = 3 - 4i 4e quadrant Forme algébrique Module Angle repère Argument principal Forme trigonométrique -4 + 4i 42 5,66 45^ 135^ 42( 135^ + i 135^) 3 - 4i 5 53,1^ -53,1^ 5((-53,1^) + i(-53,1^)) 1 + 3i 2 60^ 60^ 2( 60^ + i 60^) -3 - 33i 6 60^ -120^ 6((-120^) + i(-120^)) 12 - 5i 13 22,6^ -22,6^ 13((-22,6^) + i(-22,6^)) Les angles 53,1^ et 22,6^ sont des valeurs approchées données par la calculatrice ; les autres arguments sont des angles remarquables, donc exacts. 3. Pièges de conversion Les erreurs les plus fréquentes ne portent pas sur le module, qui est calculé presque toujours correctement, mais sur l'angle. • Utiliser (y/x) sans regarder les signes : pour -4 + 4i, le quotient vaut -1 et la calculatrice renvoie -45^ au lieu de 135^ ; pour -1 - i, elle renvoie 45^ au lieu de -135^. • Donner un angle positif quand le point est en dessous de l'axe des réels : l'argument principal est alors négatif, et le signe compte pour la suite du chapitre. • Arrondir le module avant de multiplier par le cosinus : avec 5,66 au lieu de 42, la partie réelle obtenue n'est plus -4 exactement.

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