Racines n-ièmes de l'unité sur le cercle trigonométrique

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Racines n-ièmes de l'unité : _k = e^i2k/n pour k = 0\;;\ 1\;;\ \;;\ n-1 : il y en a exactement n. • Les arguments sont les multiples de 2/n, donc régulièrement répartis sur le cercle unité. • Elles forment un polygone régulier inscrit : triangle équilatéral pour n = 3, carré pour n = 4, hexagone pour n = 6. • z^4 = 1 donne 1, i, -1 et -i ; z^3 = 1 donne 1 et deux arguments valant 120^.

Le cours

1. Chercher les racines de 1, c'est partager un tour en parts égales Les racines n-ièmes de l'unité sont les nombres complexes de module 1 dont la puissance n-ième vaut 1. Elles se cherchent avec la formule de Moivre : on écrit z = + i, et la condition devient n 0 2, c'est-à-dire n parts égales d'un tour complet. Le résultat est un polygone régulier inscrit dans le cercle unité : un triangle équilatéral pour n = 3, un carré pour n = 4, un hexagone pour n = 6. On retrouve cette disposition dans les trois tensions d'un réseau triphasé équilibré, déphasées de 120^ les unes par rapport aux autres. • Racines n-ièmes de l'unité : _k = e^i2k/n = (2k/n) + i(2k/n) pour k = 0\;;\ 1\;;\ \;;\ n-1. • Il y a exactement n racines : le cercle unité est partagé en n arcs égaux de 2/n. • Les racines forment un polygone régulier à n sommets inscrit dans le cercle unité. • Pour n = 4 : 1, i, -1, -i ; pour n = 3 : 1 et les deux nombres d'arguments 120^. 0° 90° 180° 270° 1 ω ω² les trois racines cubiques de 1 forment un triangle équilatéral Re Im ω ≈ -0,5 + 0,87i ω² ≈ -0,5 - 0,87i 1 + ω + ω² = 0 2. Méthode : compter avant de calculer Le nombre de solutions est connu à l'avance, ce qui permet de contrôler la réponse immédiatement. • Je pose l'égalité z^n = 1 et je compare les modules : |z|^n = 1, donc |z| = 1. • J'applique la formule de Moivre et j'obtiens n = 360^ k, soit = 360^ k/n avec k entier. • Je prends les n valeurs k = 0, 1, , n - 1, qui donnent les n arguments distincts. • Je vérifie en traçant le polygone régulier correspondant : les points doivent être répartis régulièrement sur le cercle. n Nombre de racines Angles dans ]-\;;\ ] Polygone 2 2 0^ et 180^ segment diamétral 3 3 0^, 120^, -120^ triangle équilatéral 4 4 0^, 90^, 180^, -90^ carré 6 6 0^, 60^, 120^, 180^ hexagone 12 12 tous les multiples de 30^ dodécagone Le nombre d'arguments est une façon de contrôler le résultat : il doit y en avoir exactement n. 0° 180° 1 i -1 -i les racines quatrièmes de 1 sont les quatre sommets d'un carré Re Im 4θ = 360°k θ = 0° ; 90° ; 180° ; 270° carré régulier 3. Pièges des racines de l'unité Les erreurs portent le plus souvent sur le nombre de solutions, et sont immédiatement repérables par un dessin. • Donner moins de n solutions : pour z^4 = 1, il y a quatre racines et non deux : 1 et -1, mais aussi i et -i. • Oublier z = 1 : l'argument nul donne toujours une racine, et c'est la plus facile à négliger. • Répartir les angles de façon irrégulière : les racines sont espacées de 360^/n, un écart constant : pour n = 5, 72^ exactement entre deux racines voisines.

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