Calcul de la distance entre deux points dans un repère de classe de Seconde

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Distance dans un repère orthonormal : AB = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2. • Les deux écarts sont les côtés de l'angle droit, la distance est l'hypoténuse. • Le signe des écarts n'intervient pas : ils sont au carré, donc AB = BA. • Les points situés à une distance r d'un point fixe forment un cercle : un axe peut le couper en 0, 1 ou 2 points.

Le cours

1. La distance se déduit des deux écarts de coordonnées Dans un repère orthonormal (O,\ OI,\ OJ), deux points A(x_A\;;\ y_A) et B(x_B\;;\ y_B) sont séparés par un écart horizontal et un écart vertical. L'écart horizontal vaut x_B - x_A, l'écart vertical vaut y_B - y_A ; ces deux écarts sont les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, et la distance est l'hypoténuse. C'est exactement le théorème de Pythagore (vu en 4e) appliqué au triangle rectangle formé par les deux écarts : on élève chaque écart au carré, on additionne, puis on extrait la racine carrée. • Distance entre deux points : AB = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2. • Un écart peut être négatif : il n'a aucune importance, il est élevé au carré. • La distance ne dépend pas de l'ordre des points : AB = BA. • Le repère doit être orthonormé : sans cette hypothèse, il faut multiplier par les échelles des axes. O 1 A(2 ; 1) B(-1 ; -3) C(2 ; -3) 3 4 AB = 5 m x (m) y (m) A(2 ; 1) et B(-1 ; -3) triangle rectangle en C : BC = 3 et CA = 4 2. Méthode en quatre gestes, dans cet ordre Cette méthode est utilisée dans tout le chapitre, car la distance à l'origine en est un cas particulier. • Je place les deux points dans le même repère et je vérifie que les deux coordonnées sont exprimées dans la même unité. • Je calcule les deux écarts en conservant le même ordre de soustraction, par exemple x_B - x_A puis y_B - y_A. • J'élève chaque écart au carré, puis j'additionne : la somme obtenue est le carré de la distance (en m^2 si le repère est en mètres). • J'extrais la racine et je remets l'unité du repère : c'est la seule façon d'obtenir une longueur correcte. Point x (m) y (m) Écart avec A Carré A 2 1 référence — B -1 -3 -3 et -4 9 + 16 = 25 C 4 2 2 et 1 4 + 1 = 5 D 1 7 -1 et 6 1 + 36 = 37 E -2 0 -4 et -1 16 + 1 = 17 Seule AB = 25 = 5 est entière ; les autres distances à A valent 5, 37 et 17 et se laissent sous forme exacte. B(6 ; 8) M₁(0 ; 0) M₂(12 ; 0) 10 10 8 x (m) y (m) le cercle de centre B(6 ; 8) et de rayon 10 m coupe l'axe des abscisses en deux points 3. Pièges du calcul de distance Trois erreurs suffisent à perdre le résultat entier d'un exercice. • Oublier la racine : la somme des carrés donne le carré de la distance, pas la distance. Pour A et B, on trouve 25 avant d'extraire la racine 5. • Mal soustraire une coordonnée négative : avec B(-1\;;\ -3) et A(2\;;\ 1), y_B - y_A = -3 - 1 = -4, et non -3 + 1 = -2. Le signe de l'écart, lui, n'a pas d'importance puisqu'il est élevé au carré. • Mélanger les unités : additionner des coordonnées en millimètres et des coordonnées en mètres conduit à un résultat sans signification, même quand le radical tombe juste.

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