Radian et conversion d'angle de classe de Seconde

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Un radian correspond à un arc de longueur égale au rayon : un tour complet vaut donc 2\ rad. • 180^ = \ rad, donc _rad = _deg /180. • Repères utiles : 90^ = /2, 60^ = /3, 30^ = /6. • Vitesse angulaire d'un moteur de fréquence f : = 2 f, et un déphasage de /2 dure une durée T/4.

Le cours

1. Le radian, unité naturelle du plan complexe Un angle se mesure en radians lorsqu'on l'attache à un cercle : un angle d'un radian est l'angle qui correspond, sur le cercle, à un arc de longueur exactement égale au rayon. La circonférence d'un cercle vaut 2 fois son rayon, donc un tour complet correspond à un arc de longueur égale à 2 fois le rayon, c'est-à-dire à 2 radians. Il en découle les deux conversions du chapitre : 180^ = \ rad et 90^ = /2\ rad. Pour convertir des degrés en radians, on multiplie par /180 ; pour convertir des radians en degrés, on multiplie par 180/. • Conversion degré vers radian : _rad = _deg /180. • Conversion radian vers degré : _deg = _rad 180/. • Valeurs utiles : 1\ rad 57,3^ et 1^ 0,0175\ rad. • Un tour complet : 360^ = 2 \ rad 6,283\ rad. A B O 1 rad ≈ 57,3° rayon R rayon = R 1 radian : l'arc AB a la même longueur que le rayon arc AB = R angle AOB ≈ 57,3° Im Re un tour complet vaut 2π rad (la circonférence vaut 2π R) 2. Pourquoi les radians en STI2D : phase, période, vitesse de rotation Toutes les grandeurs angulaires des systèmes techniques se comptent en radians, parce qu'elles se calculent à partir d'une longueur d'arc ou d'une vitesse de rotation. • Phase d'un signal sinusoïdal : une avance de /2 est un quart de période, donc une durée égale à T/4. • Vitesse angulaire d'un moteur : un tour vaut 2\ rad, donc = 2 f avec f en hertz. • Déphasage entre deux signaux : on additionne ou on soustrait des phases exprimées en radians, jamais en degrés. • Forme trigonométrique d'un nombre complexe : l'argument se donne en radians, la notation e^i suppose cette unité. Angle en degrés Angle en radians Valeur décimale 30^ /6 0,524\ rad 60^ /3 1,047\ rad 90^ /2 1,571\ rad 120^ 2/3 2,094\ rad 180^ 3,142\ rad 360^ 2 6,283\ rad Repère : un quart de tour vaut /2 rad, soit 1,571 rad. 0° 90° 180° 270° 150° = 2,618 rad M cadran de phase : les angles se lisent en radians sur le cercle Re Im un tour = 360° = 2π rad ≈ 6,283 quart de tour : 90° = π/2 rad ≈ 1,571 3. Pièges de conversion La calculatrice n'accepte qu'une seule unité à la fois : la faute la plus fréquente est de taper 150 dans un mode « degrés » et de lire un résultat en radians, ou l'inverse. • Oublier le facteur 2 dans la vitesse angulaire : = 2 f, et non = f. L'erreur d'un facteur 6,28 est immédiatement visible sur le résultat. • Mélanger les unités dans une même addition : on convertit tout en radians avant d'additionner des arguments. • Confondre le nombre et la longueur d'un arc : la mesure en radians est le rapport d'une longueur d'arc au rayon, donc un nombre sans dimension ; l'arc lui-même mesure R pour un demi-tour.

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