Forme trigonométrique d'un nombre complexe

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Forme trigonométrique : z = r( + i), avec r = |z| > 0 et = (z). • Cosinus d'abord, sinus ensuite : x = r et y = r. • Le module est strictement positif ; un signe moins se cache dans l'angle, pas devant la parenthèse. • z = 0 n'a pas de forme trigonométrique, car son module est nul.

Le cours

1. Deux nombres, un module et un angle La forme trigonométrique écrit un nombre complexe non nul avec les deux seules informations géométriques vues jusqu'ici : sa longueur et sa direction. On écrit z = r( + i), où r est le module, strictement positif, et un argument. Le module est ici multiplié par le cosinus et le sinus séparément, comme on multiplie une longueur par les deux projections d'un segment. On retrouve ainsi la forme algébrique x = r et y = r, ce qui prolonge au cercle trigonométrique les rapports trigonométriques vus en 3e. • Forme trigonométrique : z = r( + i), avec r = |z| > 0 et = (z). • Le module r est strictement positif : il n'existe pas de forme trigonométrique de z = 0. • Le couple de signes de et de est imposé par le quadrant, jamais par le signe de r. • Forme trigonométrique de 1, de -1, de i et de -i : arguments 0^, 180^, 90^ et -90^ (ou 270^). 0° 90° 180° 270° (+ ; +) (− ; +) (− ; −) (+ ; −) chaque quadrant donne un couple de signes (signe de cos θ ; signe de sin θ) Re Im couple de signes par quadrant 2. Méthode : choisir un quadrant, jamais deux à la fois Pour écrire un nombre complexe sous forme trigonométrique, on part du quadrant et non des deux coordonnées : le quadrant impose le couple de signes, et les valeurs remarquables donnent l'angle. • Je repère le quadrant à partir des signes de x et de y, et j'écris le couple de signes correspondant. • Je calcule le module r, puis = x/r et = y/r. • Je reconnais l'angle dans le tableau des valeurs remarquables (30^, 45^, 60^…), en choisissant celui du bon quadrant. • Je multiplie chaque valeur par le module r pour retrouver la forme algébrique, et je compare avec les coordonnées de départ. Quadrant Exemple (angle repère 60^) 1^er positif positif = 60^ : r(1/2 + i32) 2^e négatif positif = 120^ : r(-1/2 + i32) 3^e négatif négatif = -120^ : r(-1/2 - i32) 4^e positif négatif = -60^ : r(1/2 - i32) Le module r multiplie toujours un nombre positif : un signe « moins » dans une forme trigonométrique se cache dans l'angle. 0° 90° 180° 270° θ = 60° z 2 × 0,5 = 1 1,73 z = 2(cos 60° + i sin 60°) ≈ 1 + 1,73i Re Im module 2 angle 60° 3. Pièges de la forme trigonométrique La forme trigonométrique est la seule écriture du chapitre où une erreur de signe ne se voit pas immédiatement : elle se contrôle en comparant les parties réelle et imaginaire. • Écrire -2( 30^ + i 30^) comme forme trigonométrique : un module ne peut pas être négatif. Il faut écrire 2( 210^ + i 210^). • Écrire r(- 30^ + i 30^) : ce n'est pas une forme trigonométrique ; les signes doivent venir de l'angle, ici r( 150^ + i 150^). • Oublier l'ordre : on écrit le cosinus en premier, puis le sinus, et la partie réelle est toujours celle qui est multipliée par le cosinus.

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