Bilan : Synthèse et méthode sur Module, argument et forme trigonométrique d'un nombre complexe

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Un nombre complexe est un point, décrit par un module et un argument, et il s'écrit de trois façons compatibles. • Forme trigonométrique r( + i) et exponentielle re^i donnent les mêmes parties réelle et imaginaire. • Opérations : un produit multiplie les modules et ajoute les arguments, un quotient divise les modules et soustrait les arguments, la puissance n donne r^n et n. • Un module, qui est une distance, sert aussi de contrainte géométrique : cercle, disque ou médiatrice. • Méthode : quadrant, module, angle repère, correction, puis contrôle par retour à la forme algébrique.

Le cours

1. Une seule notion : la position d'un point dans le plan Tout le chapitre repose sur une seule idée : un nombre complexe décrit une position, avec une longueur et une direction. Le module est cette longueur, l'argument est cette direction, et la forme trigonométrique comme la forme exponentielle sont deux écritures de la même position. Les opérations complexes sont alors les opérations géométriques qui correspondent : multiplier, c'est additionner des angles ; diviser, c'est les soustraire ; élever à une puissance, c'est tourner et changer de rayon. La méthode est ici aussi importante que la formule : on travaille un quadrant à la fois, on construit plutôt que de calculer, et on contrôle systématiquement par le retour à la forme algébrique. • Module : |z| = x^2 + y^2, longueur de OA ; argument : = (z), direction de [OA). • Forme trigonométrique z = r( + i) et forme exponentielle z = re^i : même point, même module, même argument. • Produit : modules multipliés, arguments additionnés. Quotient : modules divisés, arguments soustraits. Puissance n : module élevé à la puissance n, argument multiplié par n. • Un module sert aussi de contrainte : |z - z_A| = R est un cercle, |z - z_A| = |z - z_B| est une médiatrice. 0° 90° 180° 270° φ = 30° Z 8,66 5 Z ≈ 8,66 + 5i avec 8,66 ≈ 10 cos 30° et 5 = 10 sin 30° Re Im module 10 phase 30° 10e^(iπ/6) 2. Méthode générale, en cinq étapes Cette méthode s'applique à tous les exercices du chapitre, dans cet ordre, et chaque étape peut être contrôlée indépendamment. • Je place le point sur le cercle : je lis les signes de x et de y et j'en déduis le quadrant. • Je calcule le module r = x^2 + y^2 et je vérifie qu'il est supérieur ou égal à |x| et à |y|. • Je construis l'angle repère , puis je corrige selon le quadrant : un seul quadrant à la fois. • J'écris la forme trigonométrique, puis je reviens à la forme algébrique pour contrôler que r = x et r = y. • Pour un produit, un quotient ou une puissance, je passe en forme trigonométrique et j'applique la règle correspondante. Besoin Outil Résultat longueur du vecteur module r = x^2 + y^2 amplitude ou rayon orientation du vecteur argument dans ]-\;;\ ] phase ou direction lecture rapide d'un produit forme exponentielle zz' = rr'e^i(+') phase cumulée rotation d'un point multiplication par e^i rotation de ensemble de positions |z - z_A| = R cercle de centre A équidistance de deux points |z - z_A| = |z - z_B| médiatrice de [AB] positions possibles d'un rotor racines n-ièmes de l'unité polygone régulier Cette table est l'ensemble du chapitre : chaque ligne répond à une question que l'on se pose en STI2D. 3. Erreurs qui coûtent un point, et comment les éviter Elles se regroupent en quelques familles, et chacune a une parade simple que l'on peut appliquer systématiquement. • Erreur de quadrant : elle vient d'une lecture hâtive des signes. Parade : dessiner le point avant tout calcul, et contrôler que le couple de signes de et correspond. • Erreur de module : elle vient d'un oubli de racine, ou d'un module appliqué deux fois dans un produit. Parade : vérifier que |zz'| = |z| |z'| après le calcul. • Erreur d'angle : elle vient d'une réduction oubliée modulo 360^, ou d'un argument principal oublié. Parade : écrire la valeur obtenue dans ]-\;;\ ] avant de conclure. • Erreur d'écriture : multiplier par e^i est une rotation, pas une dilatation. Parade : vérifier que le module est resté inchangé après la multiplication. 0° 90° 180° 270° + 60° v v × e^(iπ/3) multiplier par e^(iα) fait tourner le point d'un angle α autour de O Re Im multiplier v par e^(iπ/3) le fait tourner de 60°

Dans ce chapitre