Module d'un nombre complexe et distance à l'origine

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Module de z = x + yi : |z| = x^2 + y^2, c'est la distance du point A(x\;;\ y) à l'origine. • |z| 0, avec |z| = 0 si et seulement si z = 0 ; le module de 0 est le seul cas particulier. • z et z ont le même module : |3 + 4i| = |3 - 4i| = 5. • Un module se lit comme une longueur : |z| |x| et |z| |y|, avec égalité seulement si z est réel ou imaginaire pur.

Le cours

1. Le module est une longueur, pas un nombre calculé au hasard On munit le plan d'un repère orthonormé : l'axe des réels horizontal, l'axe des imaginaires vertical, une unité de longueur par unité de coordonnée. Le nombre z = x + yi est alors le point A de coordonnées (x\;;\ y), et le module de z est simplement la distance du point A à l'origine. Cette lecture est la clef du chapitre : module, argument et forme trigonométrique sont une question de géométrie du plan, et non une invention de l'imaginaire. Sur une machine, z représente une position ; le module de z est l'écart entre cette position et le centre, c'est-à-dire une amplitude ou un rayon. • Module d'un nombre complexe : |z| = x^2 + y^2 pour z = x + yi. • Le module est toujours positif ou nul : |z| 0 et |z| = 0 si et seulement si z = 0. • |z| ne dépend pas du signe de x ni de celui de y : z et z ont le même module. • |z|^2 = x^2 + y^2 : le carré du module est une somme de carrés, ce qui rend le calcul rapide. O A(3 ; 4) 3 4 |z| = 5 x y z = 3 + 4i OA est le module de ce nombre 2. Méthode : le triangle rectangle des projections Le module se calcule en quatre gestes, exactement comme la distance entre deux points vue en Seconde. • Je lis l'abscisse x et l'ordonnée y du point, en vérifiant que je n'ai pas inversé les deux. • Je place le point A, je trace les deux projections sur les axes : elles mesurent x et y. • J'applique Pythagore : OA = x^2 + y^2, et j'écris le résultat avec son unité de longueur. • Je contrôle : le module doit être supérieur ou égal à |x| et à |y|, et il doit être inchangé si je remplace y par -y. 0° 90° 180° 270° z₁ = 6 + 8i z₂ = 6 - 8i 6 8 -8 les deux points sont sur le cercle de centre O et de rayon 10 Re Im |z₁| = |z₂| = 10 même module 3. Deux pièges et un cas particulier Le module se confond facilement avec la partie réelle, avec la distance à un autre point, ou avec la valeur absolue d'un terme. • Lire |3 + 4i| = 3 : le module n'est pas la partie réelle, c'est la longueur de l'hypoténuse du triangle des projections, ici 5. • Oublier la racine carrée après la somme des carrés : 3^2 + 4^2 = 25 est un carré de longueur, la longueur est 5. • Le module de 0 vaut 0 et c'est le seul nombre qui n'a pas d'argument : il n'a aucune direction, donc aucune orientation à lire sur le cercle.

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