Argument d'un nombre complexe et notation de l'argument

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• (z) = + 2k pour k Z : l'argument est défini modulo 2, donc à 360^. • Argument principal : ]-\;;\ ], c'est-à-dire entre -180^ et +180^. • Méthode : signe de x, signe de y, quadrant, angle repère , puis correction. • Un réel positif a pour argument 0 ; le nombre 0 n'a pas d'argument.

Le cours

1. L'argument est l'orientation de la demi-droite qui porte le point On reprend exactement la figure de la notion précédente : le point A d'affixe z est relié à l'origine O. L'argument de z est l'angle que la demi-droite [OA) forme avec la partie positive de l'axe des réels, mesuré dans le sens direct. Un nombre complexe a donc deux informations géométriques : une longueur, son module, et une direction, son argument. Cette direction se lit aussi en physique sur le schéma de phase d'un signal sinusoïdal : l'argument y est la phase. Une phase de +30^ signifie que le signal est en avance de 30^ sur la référence ; une phase de -30^, qu'il est en retard de 30^. • On écrit (z) = + 2k avec k Z : l'argument est défini modulo 2. • Argument principal dans ]-\;;\ ] : il est unique et compris entre -180^ et +180^. • Un nombre réel positif a pour argument 0, un nombre réel négatif a pour argument ou -. • Le nombre 0 n'a pas d'argument : une longueur nulle n'a pas de direction. 0° 90° 180° 270° α = 45° 225° z -2 -2 la même demi-droite se lit 225° ou -135° Re Im z = -2 - 2i 3e quadrant θ = -135° dans ]-π ; π] 2. Méthode : un seul quadrant à la fois L'argument se construit plus qu'il ne se calcule : on repère le quadrant, on calcule un angle aigu, puis on corrige. Cette méthode sert dans tous les exercices qui suivent. • Étape 1 : je regarde le signe de la partie réelle x et celui de la partie imaginaire y, j'en déduis le quadrant. • Étape 2 : je calcule l'angle repère , angle aigu entre [OA) et l'axe des réels : = (|y|/|x|) (touche ^-1 de la calculatrice). • Étape 3 : je corrige selon le quadrant : premier quadrant = , deuxième = 180^ - , troisième = -180^ + , quatrième = -. • Étape 4 : je vérifie le signe du cosinus puis celui du sinus sur le cercle : le couple de signes doit correspondre au quadrant trouvé. Quadrant Signe de x Signe de y Correction de l'angle repère 1^er positif positif = 2^e négatif positif = 180^ - 3^e négatif négatif = -180^ + 4^e positif négatif = - La colonne de droite est la seule information à ajouter à la lecture du cercle : le quadrant fait tout le reste. 0° 180° 270° φ = -120° X -0,5X -0,866X projection horizontale : X cos φ ; projection verticale : X sin φ Re Im vecteur de module X orienté à -120° 3. Pièges d'argument L'argument est la seule notion du chapitre qui se prête à une infinité d'écritures, et c'est de là que viennent toutes les erreurs. • Donner 225^ quand on demande l'argument principal : 225^ n'est pas dans ]-\;;\ ], il faut écrire -135^. • Inverser le couple de signes : un point du deuxième quadrant a un cosinus négatif et un sinus positif, donc 135^ et non 45^. • Utiliser (y/x) sans corriger le quadrant : la calculatrice rend un angle compris entre -90^ et 90^, elle ne connaît pas le quadrant.

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