Division de nombres complexes et soustraction des arguments

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• z/z' = r/r'(( - ') + i( - ')), avec z' 0. • Module : quotient de modules, donc toujours positif ; argument : - ' modulo 2. • L'ordre est celui de la fraction : z / z' a pour argument - ', et non ' - . • Une différence négative donne un retard de phase, une différence positive une avance.

Le cours

1. Diviser, c'est soustraire les angles La division d'un nombre complexe par un nombre complexe non nul obéit à la même logique que la multiplication : les modules sont mis en rapport et les arguments sont soustraits. Le module du quotient est donc un quotient de modules, et son argument est une différence d'arguments. Géométriquement, diviser par z' = r'(' + i') revient à diviser la distance à l'origine par r' et à faire tourner le point de l'angle -'. En électricité, c'est ce que l'on fait en divisant une tension complexe par une impédance complexe pour obtenir l'intensité. • Quotient en forme trigonométrique : z/z' = r/r'(( - ') + i( - ')), avec r' 0. • Module : |z/z'| = r/r', et (z/z') = - ' modulo 2. • La division par 0 est impossible : 0 n'a pas d'inverse (et pas d'argument). • Le signe de la différence décide du sens de la rotation : une différence négative correspond à un retard de phase. 0° 90° 180° 270° 70° 60° z z' diviser, c'est soustraire les arguments Re Im module : 3 / 2 angle : 130° - 70° 2. Méthode, et piège de l'ordre des nombres Un quotient se traite exactement comme un produit, à deux différences près : le module se divise et l'argument se soustrait. • Je vérifie que le diviseur n'est pas nul, c'est-à-dire que z' 0. • Je mets les deux nombres en forme trigonométrique, exactement comme pour un produit. • Je divise les modules et je soustrais les arguments en respectant l'ordre : numérateur moins dénominateur. • Je contrôle en vérifiant que le module obtenu est bien le rapport des deux modules initiaux. • L'ordre compte : z / z' n'est pas z' / z, leurs arguments sont opposés. • Le module d'un quotient est positif, donc le rapport r / r' ne porte pas de signe : un quotient peut être dans n'importe quel quadrant. • Si la différence obtenue n'est pas dans ]-180^\;;\ 180^], on ajoute ou on retranche 360^ pour obtenir l'argument principal. du numérateur ' du diviseur Différence Module 45^ -45^ 90^ 1 130^ 70^ 60^ 3/2 120^ -30^ 150^ 1/2 20^ 80^ -60^ 2 -15^ -15^ 0^ 3 Dernière ligne : deux nombres de même argument ont un quotient réel positif, d'argument nul. 0° 90° 180° 270° 150° Q -0,43 0,25 le module d'un quotient est le rapport des modules : ici 5 / 10 = 0,5 Re Im module 0,5 argument 150° 3. Pièges du quotient Le piège principal est un simple changement de signe sur l'argument, suivi d'une erreur de quadrant qui le rend invisible. • Soustraire les arguments dans le mauvais ordre : si = 20^ et ' = 80^, la différence vaut -60^ et non +60^. • Croire que le module du quotient peut être négatif : les deux modules sont positifs, donc le rapport l'est aussi ; le quadrant ne vient que de l'angle. • Calculer z'/z au lieu de z/z' : on obtient l'inverse du résultat attendu, de module r'/r et d'argument opposé ' - .

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