Ensembles de points définis par un module : cercles et médiatrices

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• |z - z_A| = R : cercle de centre A et de rayon R ; avec c'est le disque fermé. • Le centre est l'opposé du terme soustrait à z : |z + 1 - 3i| = 5 a pour centre A(-1\;;\ 3). • |z - z_A| = |z - z_B| : médiatrice du segment [AB], droite perpendiculaire à [AB] en son milieu. • |az - b| = R se ramène à un cercle en factorisant : |a||z - b/a| = R.

Le cours

1. Un module n'est pas seulement une longueur : c'est une contrainte Jusqu'ici le module servait à mesurer une distance. On l'utilise maintenant comme une équation : l'ensemble des points M tels que |z - z_A| = R est le cercle de centre A et de rayon R, et l'ensemble des points tels que |z - z_A| R est le disque fermé. L'inégalité donne un disque, l'égalité donne sa bordure. Le second ensemble est d'une autre nature : l'ensemble des points M tels que |z - z_A| = |z - z_B| est la médiatrice du segment [AB], c'est-à-dire la droite des points équidistants de A et de B. On retrouve ainsi, avec les complexes, la médiatrice étudiée au collège. • |z - z_A| = R avec R > 0 : cercle de centre A et de rayon R. • |z - z_A| R : disque fermé de centre A et de rayon R. • |z - z_A| = |z - z_B| : médiatrice du segment [AB], donc droite perpendiculaire à [AB] en son milieu. • |az - b| = R avec a 0 : on factorise par a pour retrouver un cercle, car |az - b| = |a||z - b/a| ; le rayon est alors R/|a|. O A(0 ; 2) 3 3 -3 x y O est à l'intérieur du cercle : |0 - 2i| = 2 < 3 |z - 2i| = 3 cercle de centre A et de rayon 3 2. Méthode : identifier le centre avant tout calcul Décrire un ensemble défini par un module ne demande que trois gestes, et aucun calcul de coordonnées. • Je factorise l'expression pour la mettre sous la forme |z - z_A| : je repère le terme qui est soustrait à z. • J'identifie le centre A en lisant les coordonnées ainsi obtenues, en n'oubliant pas de changer les signes. • Je lis le rayon dans le membre de droite, et je donne l'ensemble : cercle, disque, ou médiatrice. • Je contrôle en choisissant un point simple de l'ensemble et en vérifiant que son module vaut bien la valeur imposée. Condition Nature de l'ensemble Centre ou droite |z - 2i| = 3 cercle centre A(0\;;\ 2), rayon 3 |z - 2i| 3 disque fermé centre A(0\;;\ 2), rayon 3 |z + 1 - 3i| = 5 cercle centre A(-1\;;\ 3), rayon 5 |z - z_A| = |z - z_B| droite médiatrice de [AB] |2z - 4i| = 6 cercle centre A(0\;;\ 2), rayon 3 Dernière ligne : le module |2z - 4i| = 2|z - 2i| impose un rayon de 6 / 2 = 3, et non un rayon de 6. O A(1 ; 2) B(5 ; 2) M(3 ; 4) x (m) y (m) |MA| = |MB| médiatrice de [AB] 3. Pièges de lecture d'un module Toutes ces erreurs consistent à lire le signe du terme soustrait au lieu de son opposé, ou à oublier la factorisation. • Lire |z + 1 - 3i| = 5 comme un cercle de centre (1\;;\ -3) : le centre est l'opposé, donc A(-1\;;\ 3). Test : en remplaçant z par l'affixe du centre -1 + 3i, l'expression dans le module doit s'annuler. • Confondre cercle et disque : l'égalité décrit une bordure, l'inégalité décrit l'intérieur et la bordure. • Oublier de factoriser : |2z - 4i| = 6 donne |z - 2i| = 3, donc un rayon de 3 et non de 6.

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