Puissances d'un nombre complexe par la formule de Moivre

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Formule de Moivre : ( + i)^n = (n) + i(n). • Cas général : z^n = r^n((n) + i(n)) : le module est élevé à la puissance n, l'argument est multiplié par n. • i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1 : un quart de tour à chaque puissance. • Pour n 1 entier, l'argument est n réduit modulo 2.

Le cours

1. La formule de Moivre fait tourner le point sur le cercle Élever un nombre complexe à la puissance n revient à élever son module à la puissance n et à multiplier son argument par n. La formule de Moivre énonce exactement cela pour les nombres de module 1 : ( + i)^n = (n) + i(n). Pour un module quelconque, on écrit z = r( + i) et l'on obtient z^n = r^n((n) + i(n)). La justification repose sur la règle du produit : z^n est le produit de n facteurs égaux à z ; les n modules r se multiplient, ce qui donne r^n, et les n arguments s'additionnent, ce qui donne n. • Formule de Moivre : ( + i)^n = (n) + i(n) pour n N. • Puissance générale : z^n = r^n((n) + i(n)), donc |z^n| = r^n et (z^n) = n modulo 2. • Cas particuliers : i^n tourne de 90^ à chaque puissance, et (-1)^n vaut -1 si n est impair, 1 si n est pair. • Le module d'une puissance est une puissance du module : si r > 1, le point s'éloigne de l'origine à chaque puissance ; si r 0° 90° 180° 270° z z² z³ z⁴ z = 1 + i : chaque puissance tourne de 45° et multiplie la distance à O par √2 Re Im angle : 4 × 45° module : (√2)⁴ = 4 2. Méthode : cercle unité d'abord, puis on rétrécit ou on agrandit Pour calculer une puissance, on sépare les deux effets : la rotation, qui ne dépend que de l'angle, et la dilatation, qui ne dépend que du module. • Je passe z en forme trigonométrique, ou j'identifie z sur le cercle unité si son module vaut 1. • Je calcule l'angle après puissance : n, réduit modulo 360^ s'il dépasse un tour. • Je calcule le module après puissance : r^n, toujours strictement positif. • Je conclus en donnant la partie réelle et la partie imaginaire, en utilisant les valeurs remarquables de l'angle obtenu. Nombre Module Argument Puissance n Module après Argument après 20^ + i 20^ 1 20^ 3 1 60^ 1 + i 2 45^ 4 4 180^ -1 1 180^ 3 1 540^ soit 180^ 2e^-i/6 2 -30^ 3 8 -90^ i 1 90^ 4 1 360^ soit 0^ Dernière ligne : i^4 = 1, ce qui est la première indication de l'existence de quatre racines quatrièmes de 1. 0° 270° 60° 180° 300° les trois positions possibles du rotor Re Im 3θ = 180° θ = 60° + 120°k 3. Pièges des puissances La confusion la plus coûteuse consiste à oublier que le module change, ou à croire que la puissance ne touche que l'angle. • Multiplier l'angle mais garder le module : (1 + i)^4 n'a pas pour module 2 mais 4, car (2)^4 = 4. • Écrire ( + i)^4 = ^4 + i^4 : faux, la puissance agit sur l'angle, le résultat est (4) + i(4). • Mal réduire l'argument : 3 (-60^) = -180^ n'est pas dans ]-180^\;;\ 180^], l'argument principal est 180^ ; de même 540^ - 360^ = 180^.

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