Forme exponentielle et formule d'Euler

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Formule d'Euler : e^i = + i, donc z = re^i est la forme exponentielle. • L'angle est en radians : e^i = -1, e^i/2 = i, e^2i = 1. • Module et argument ne changent pas quand on change d'écriture : r = |z| et = (z) restent les mêmes. • e^i est le nombre complexe de module 1 et d'argument ; formules d'Euler : = e^i + e^-i2 et = e^i - e^-i2i.

Le cours

1. La forme exponentielle est un raccourci d'écriture Écrire z = r( + i) devient long dès qu'on enchaîne les calculs. On convient alors d'écrire z = re^i, où e^i est une notation abrégée de + i : c'est la formule d'Euler, qui associe à chaque angle le point du cercle unité de coordonnées (\;;\ ). On utilise ici cette écriture comme une notation commode, sans faire appel à une fonction exponentielle réelle. Ce qu'il faut savoir : e^i est le nombre complexe de module 1 et d'argument , dont le point image a pour abscisse et pour ordonnée . En ajoutant puis en soustrayant e^i et e^-i, on obtient les formules d'Euler : = e^i + e^-i2 et = e^i - e^-i2i. • Forme exponentielle : z = re^i, avec r = |z| > 0 et = (z) en radians. • Formule d'Euler : e^i = + i, et de même e^-i = - i. • Valeurs à connaître par cœur : e^i = -1 et e^i/2 = i, donc e^2i = 1. • Un produit s'écrit zz' = rr'e^i( + ') : les modules se multiplient, les arguments s'additionnent. 0° 90° 180° 270° θ = 150° e^(iθ) cos θ sin θ e^(iθ) : nombre complexe de module 1 et d'argument θ, sur le cercle unité Re Im abscisse : cos θ ordonnée : sin θ 2. Méthode : changer d'écriture, garder le même couple Passer d'une forme à l'autre ne change ni le module ni l'argument. On peut donc contrôler une écriture en comparant les deux. • Trigonométrique vers exponentielle : je remplace la parenthèse ( + i) par e^i, sans rien changer d'autre. • Exponentielle vers trigonométrique : je calcule et , puis je multiplie par r pour retrouver les parties réelle et imaginaire. • Pour un angle en degrés, je convertis d'abord en radians, car l'exponentielle s'écrit avec un angle en radians. • Je contrôle en comparant parties réelle et imaginaire des deux écritures : elles doivent être identiques. 1 i -1 -i quatre valeurs remarquables de la forme exponentielle Re Im e^(i·0) = 1 e^(i·π/2) = i e^(i·π) = -1 e^(i·3π/2) = -i Écriture trigonométrique Module Forme exponentielle Forme algébrique 3( 60^ + i 60^) 3 3e^i/3 3/2 + 332i 1,5 + 2,60i 30^ + i 30^ 1 e^i/6 32 + 1/2i 0,866 + 0,5i 2( 120^ + i 120^) 2 2e^2i/3 -1 + 3i -1 + 1,73i 4((-90^) + i(-90^)) 4 4e^-i/2 -4i Dans la dernière ligne, un angle négatif donne une exponentielle à exposant négatif : la forme exponentielle accepte les phases négatives. 3. Pièges de la forme exponentielle Cette écriture est un raccourci de + i : pour obtenir des valeurs numériques, on revient au cosinus et au sinus. • Taper e^i sur une calculatrice en mode réel : elle renvoie une erreur ou un résultat inexploitable. On passe par + i = -1 (ou par le mode complexe si la calculatrice en dispose). • Écrire un angle en degrés dans l'exponentielle : e^i90 désigne un angle de 90 radians, pas de 90^ ; un quart de tour s'écrit e^i/2. • Oublier le module devant l'exponentielle : e^i est sur le cercle unité, le nombre z n'y est que si |z| = 1.

Dans ce chapitre