Multiplication de nombres complexes et addition des arguments

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• zz' = rr'(( + ') + i( + ')) : les modules se multiplient, les arguments s'additionnent. • (zz') = (z) + (z') modulo 2, donc il faut réduire l'angle obtenu dans ]-\;;\ ] si on le demande. • Cette règle vaut pour un produit, jamais pour une somme de deux nombres complexes. • Contrôle systématique : |zz'| = |z| |z'|, et jamais le carré.

Le cours

1. Multiplier, c'est additionner des angles En forme trigonométrique, la multiplication de deux nombres complexes non nuls s'écrit sans aucun calcul de coordonnées : les modules se multiplient et les arguments s'additionnent. La propriété se démontre en développant le produit, grâce aux formules d'addition (a + b) = a b - a b et (a + b) = a b + a b. C'est le résultat le plus utile du chapitre : la multiplication de deux nombres complexes se lit sur le cercle comme une somme d'angles. En particulier, multiplier un nombre complexe par un nombre de module 1 et d'argument fait tourner son point image de l'angle autour de l'origine, sans changer sa distance à O : c'est ainsi qu'on décrit un déphasage en électricité. • Produit en forme trigonométrique : zz' = rr'(( + ') + i( + ')). • Module et argument : |zz'| = |z| |z'| et (zz') = (z) + (z') modulo 2. • Si l'un des deux nombres est nul, le produit est nul et n'a pas d'argument. • L'addition des arguments se fait modulo 2 : on peut retrancher 360^ au résultat. 0° 90° 180° 270° θ = 90° z₁ z₂ z₁z₂ la somme des arguments donne l'argument du produit Re Im module : 2 × 2 = 4 angle : 30° + 60° = 90° 2. Méthode : trois lignes, toujours les mêmes Un produit de complexes ne demande jamais plus de trois opérations une fois les deux nombres passés en forme trigonométrique. • Je passe z et z' en forme trigonométrique : z = r( + i) et z' = r'(' + i'). • Je multiplie les modules : rr', et j'additionne les arguments : + '. • Je donne le résultat, puis je ramène l'argument dans l'intervalle principal si l'énoncé le demande. • Je contrôle en vérifiant que le module obtenu est bien le produit des deux modules initiaux. de z ' de z' + ' Argument principal 30^ 60^ 90^ 90^ 120^ 150^ 270^ -90^ -40^ 60^ 20^ 20^ -150^ 70^ -80^ -80^ 225^ 225^ 450^ 90^ Dernière ligne : deux nombres d'argument 225^ ont un produit d'argument 450^, c'est-à-dire un tour plus un quart de tour, donc un argument principal de 90^. O direction -65° u v w = u + v Re Im |u| = 3 et |v| = 4 |w| ≈ 6,94 arg(w) ≈ -31,4° et non -65° les arguments s'ajoutent pour un produit, pas pour une somme 3. Pièges du produit Trois erreurs sont très répandues, et toutes les trois tiennent au même endroit : l'angle. • Additionner les arguments puis conserver un angle supérieur à 360^ : 450^ = 360^ + 90^, soit un tour plus un quart de tour ; l'argument principal est 90^. • Additionner les arguments pour une somme de nombres complexes : u + v ne suit pas cette règle, une somme se calcule par coordonnées. • Oublier de multiplier les modules, ou les multiplier deux fois : le module du produit est rr' une seule fois, et il est positif.

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