Taux de variation moyen d'une fonction de classe de Seconde

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Le taux de variation moyen sur [a\,;\,b] vaut t_m = x(b)-x(a)/b-a, c'est la pente de la sécante AB. • Sur un système technique, il s'interprète comme une vitesse moyenne, en ms. • Un intervalle plus long lisse les variations, un intervalle plus court se rapproche de la vitesse instantanée. • Le signe du taux indique le sens de déplacement du mobile sur l'intervalle.

Le cours

1. Le taux de variation moyen sur un essai de transfert Le banc d'essai du module de tri enregistre la position x du chariot de transfert en fonction du temps t. Entre deux instants a et b du relevé, le taux de variation moyen est le quotient de l'accroissement de la grandeur par l'accroissement du temps : t_m = x(b) - x(a)/b - a • C'est la pente de la sécante qui relie les deux points A(a\,;\,x(a)) et B(b\,;\,x(b)) du relevé. • Sur un système mécanique, il s'interprète comme une vitesse moyenne : l'unité est le quotient de l'unité de position par l'unité de temps, donc ms. • Un intervalle large lisse les accélérations et les ralentissements : la valeur obtenue décrit le transfert entier, pas un instant précis. • Un intervalle étroit se rapproche de la vitesse qu'a le chariot à cet instant : c'est exactement le point de départ de la dérivée. • Le signe compte : un taux négatif signifie que la position diminue, donc que le chariot revient vers sa butée. 2. Le relevé brut de l'essai de transfert Grandeur du relevé 0,0 s 0,5 s 1,0 s 2,0 s 3,0 s 4,0 s Position x du chariot en mètres 0,00 0,10 0,35 1,15 2,35 3,05 Écart de temps depuis l'instant précédent — 0,5 0,5 1,0 1,0 1,0 Accroissement de position — +0,10 +0,25 +0,80 +1,20 +0,70 Taux de variation moyen en m/s — +0,20 +0,50 +0,80 +1,20 +0,70 Chaque ligne se lit de gauche à droite : à l'instant considéré, on connaît la position, l'écart de temps, l'accroissement et le taux de variation moyen correspondant. 0 1 2 3 4 0 1 2 3 A : 0,35 m B : 2,35 m 1,00 m/s 0,84 m/s temps t en secondes relevé de position du chariot x en mètres 3. Méthode : deux instants, deux valeurs, une division • Je repère sur l'axe des temps les deux instants a et b de l'intervalle demandé, et non deux instants voisins par défaut. • Je relève x(a) et x(b) sur le graphique ou dans le tableau, sans interpoler. • Je calcule l'écart de position puis l'écart de temps, dans cet ordre, en conservant les unités à chaque ligne. • Je simplifie le quotient et je l'interprète : une vitesse en m/s, un signe, et une conséquence sur le mouvement du chariot. Application au relevé : sur l'intervalle [1,0\ s\,;\,3,0\ s], t_m = 2,35 - 0,353,0 - 1,0 = 2,002,0 = 1,00\ m/s 4. Piège : confondre la vitesse moyenne et la pente locale Le taux moyen sur tout le cycle [0,0\ s\,;\,4,0\ s] ne vaut que 0,76\ m/s, alors que le chariot a réellement roulé à 1,20\ m/s entre 2 et 3\ s. Une moyenne ne dit rien d'un instant précis : elle masque les phases lentes et les phases rapides. Second piège, plus fréquent : confondre la durée de l'intervalle avec la durée du cycle complet. Si l'acquisition ne démarre qu'à 0,5\ s, l'intervalle courant jusqu'à 4,0\ s dure 3,5\ s et non 4,0\ s. Diviser par la mauvaise durée donne 0,74\ m/s au lieu de 0,84\ m/s, soit près de 13\ \% d'erreur. 0 0,5 1 2 3 4 0 0,4 0,8 1,2 0,20 0,50 0,80 1,20 0,70 temps t en secondes taux de variation moyen (m/s) m/s

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