Nombre quotient et calcul de la dérivée en un point

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Le nombre quotient Q_h = x(a+h)-x(a)/h est la pente d'une sécante, et il dépend de h. • Le nombre dérivé x'(a) ne dépend pas de h : c'est la valeur vers laquelle les nombres quotients convergent. • Un intervalle large peut donner un signe opposé à celui du nombre dérivé. • Plus h est petit, plus l'estimation du nombre dérivé est juste.

Le cours

1. Le nombre quotient : une valeur qui dépend de h On appelle nombre quotient de la fonction x en a le taux de variation calculé pour une valeur choisie de h : Q_h = x(a+h) - x(a)/h (h 0) • C'est la pente de la sécante entre A(a\,;\,x(a)) et le point voisin A_h(a+h\,;\,x(a+h)). • Le nombre quotient dépend de h choisi : Q_0,2, Q_0,1 et Q_0,01 sont trois nombres différents. • Seule la valeur limite de ces quotients quand h devient très petit ne dépend plus de h : c'est le nombre dérivé. • Le nombre quotient est donc une approximation par le haut ou par le bas de la vitesse instantanée, jamais la vitesse elle-même. 2. Méthode : comparer deux valeurs de h au nombre dérivé Pour le chariot dont la position est x(t) = 0,4\,t^2 - 1,2\,t + 1,5, on obtient en a = 1,0\ s : Écart h Position x(1+h) Nombre quotient Nombre dérivé 0,2\ s 0,636\ m -0,32\ m/s -0,40\ m/s 0,1\ s 0,664\ m -0,36\ m/s -0,40\ m/s 0,01\ s 0,69604\ m -0,396\ m/s -0,40\ m/s Chaque réduction de h par 10 rapproche le quotient du nombre dérivé : le tableau se lit de bas en haut comme une convergence. 0 1 2 3 4 0 1 2 3 A dérivée : -0,40 m/s quotient sur [1 ; 3] : +0,40 m/s temps t en secondes position du chariot x(t) x en mètres 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 -0,4 -0,2 0 h = 0,2 h = 0,4 h = 1 valeur limite écart h en secondes le quotient tend vers -0,40 nombre quotient 3. Un intervalle large peut donner un signe opposé Sur l'intervalle [1,0\ s\,;\,3,0\ s], le nombre quotient vaut 1,50 - 0,702,0 = +0,40\ m/s, alors que le nombre dérivé en t = 1,0\ s vaut -0,40\ m/s. Les deux grandeurs n'ont même pas le même signe : le chariot recule à cet instant, mais l'ensemble du transfert est un trajet vers l'avant. 4. Piège : donner une vitesse à partir d'un intervalle large Écrire « le chariot recule à 0,40\ m/s en t = 1,0\ s » en utilisant le nombre quotient sur [1,0\ s\,;\,3,0\ s] est doublement faux : l'intervalle est trop large, et le signe est inversé. Un nombre quotient se calcule sur un intervalle court, de l'ordre de la maille d'échantillonnage du capteur.

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