Lecture d'une courbe et de ses tangentes au tracé de classe de Seconde

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Sur un tracé grillagé, on lit une valeur en ordonnée et une pente le long d'une tangente. • La pente se lit en comptant des carrés, puis en convertissant avec la taille de la maille : ici x'(1) = -0,40\ m/s. • La sécante donne la vitesse moyenne sur l'intervalle, la tangente donne la vitesse à l'instant. • Une tangente horizontale se repère à l'endroit le plus bas ou le plus haut du tracé, et correspond à une vitesse nulle.

Le cours

1. Ce que l'on lit sur un tracé Le traceur de la carte de contrôle enregistre la position x du chariot, en mètres, sur une grille régulière. Sur cette grille on lit deux choses : une valeur, en ordonnée au-dessus d'un instant, et une pente, en montant le long d'une tangente tracée par le logiciel. x'(t) = déplacement verticaldéplacement horizontal • Valeur lue : on part de l'instant sur l'axe horizontal, on monte verticalement jusqu'à la courbe, on lit l'ordonnée. • Pente lue : on trace la tangente, on choisit deux points bien écartés l'un de l'autre dessus, et on forme le quotient des écarts. • L'unité de la pente est celle du quotient : des mètres par seconde ici. • Sur une grille, compter les carrés est plus sûr que mesurer au réglet : c'est l'unité de la grille qui donne la valeur. 2. Méthode : compter les carrés, pas les millimètres La grille du traceur a une maille de 0,5\ s horizontalement et de 0,2\ m verticalement. Pour lire la vitesse en t = 1\ s, on suit la tangente tracée au point A(1,0\ s\,;\,0,70\ m) : un carré vers la droite pour un carré vers le bas, jusqu'au point B(1,5\ s\,;\,0,50\ m). x'(1) = -1 0,21 0,5 = -0,200,50 = -0,40\ m/s Le rapport se lit directement sur la grille : une maille de hauteur pour une maille de temps. Il ne reste plus qu'à convertir les carrés en unités réelles, ce qu'on a fait en multipliant par 0,2\ m et par 0,5\ s. 0 1 2 3 0,6 0,8 1 1,2 1,4 A B 1 carré = 0,5 s 1 carré = 0,2 m tangente en A temps t en secondes grille : 1 carré = 0,5 s et 0,2 m x en mètres 3. Sécante ou tangente : deux vitesses différentes La sécante qui relie M(0,0\ s\,;\,1,30\ m) et N(2,0\ s\,;\,0,50\ m) a une pente de -0,40\ m/s. Or le chariot part à -0,80\ m/s et arrive immobile à l'instant t = 2,0\ s : aucune de ces deux vitesses instantanées ne vaut la pente de la sécante. Une sécante décrit une vitesse moyenne sur deux secondes ; seule la tangente décrit l'instant. 0 1 2 3 4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,30 m 0,50 m sécante : -0,40 m/s temps t en secondes une sécante donne la vitesse moyenne x en mètres 4. Piège : lire la pente sans convertir les carrés Compter un carré vers le bas pour un carré vers la droite donne le nombre -1, qui n'est pas une vitesse : il reste à multiplier par le rapport des deux mailles, soit 0,2 0,5 = 0,4\ m/s par carré. Sans cette conversion, on annonce -1 au lieu de -0,40\ m/s, une valeur deux fois et demie trop grande. Second piège : confondre la hauteur de la courbe et sa pente. Le point le plus bas du tracé, à 0,50\ m en t = 2\ s, correspond à une tangente horizontale, donc à une vitesse nulle ; ce n'est pas parce que la position y est minimale que la vitesse y est minimale.

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