Dérivée d'un quotient et domaine de définition

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• (v/w)' = v'w - vw'w^2, avec la condition w(t) 0. • Le dénominateur est au carré, et le numérateur est un produit croisé. • Une simplification après dérivation peut rendre la fonction dérivée beaucoup plus lisible, par exemple 10/(t+4)^2. • Un quotient et sa dérivée n'existent pas là où le dénominateur s'annule, même si le numérateur s'annule aussi.

Le cours

1. Dériver un quotient La sortie d'un capteur de position n'est pas une somme de termes mais un quotient de deux fonctions du temps, u(t) = v(t)/w(t). Sa dérivée s'obtient par une formule dédiée : (v/w)' = v'\,w - v\,w'w^2 pour w(t) 0 • Le numérateur de la formule est un produit croisé : dérivée du numérateur multipliée par le dénominateur, moins numérateur multiplié par dérivée du dénominateur. • Le dénominateur est au carré : l'oublier est l'erreur la plus fréquente. • Le domaine de définition exclut les instants où le dénominateur s'annule, même si le numérateur s'annule aussi. • L'unité de u' est celle de u divisée par celle du temps : ici des volts par seconde. 2. Méthode : nommer, dériver, appliquer, simplifier Pour u(t) = 3t + 2/t + 4, on pose v(t) = 3t + 2 et w(t) = t + 4, d'où v'(t) = 3 et w'(t) = 1 : u'(t) = 3(t+4) - (3t+2)(t+4)^2 = 3t + 12 - 3t - 2(t+4)^2 = 10(t+4)^2 Lorsque le numérateur se simplifie, la dérivée devient une expression beaucoup plus lisible : ici u'(t) > 0, donc la sortie du capteur est croissante, et sa vitesse de variation diminue quand t augmente. 0 1 2 3 4 5 6 0 0,5 1 1,5 2 0,50 V tangente : pente 0,40 V/s 2,00 V temps t en secondes sortie u(t) = (3t + 2) / (t + 4) u en volts 0 1 2 3 4 5 6 0 0,2 0,4 0,6 seuil de 0,25 V/s 0,625 0,10 temps t en secondes sensibilité u'(t) u'(t) en V/s 3. Une autre application : la vitesse moyenne depuis le départ v(t) = x(t)/t avec x(t) = 0,5\,t^2 + 2\,t v(t) = 0,5\,t + 2 pour t > 0 v'(t) = x'(t) t - x(t) 1t^2 = (t+2)\,t - 0,5\,t^2 - 2\,tt^2 = 0,5\,t^2t^2 = 0,5 en m/s^2 La formule du quotient et la simplification préalable donnent le même résultat : la vitesse moyenne depuis le départ augmente de 0,5\ m/s à chaque seconde écoulée. Ce n'est pas l'accélération du chariot, qui vaut x''(t) = 1\ m/s^2. 4. Piège : oublier le carré du dénominateur Appliquer v'w - vw'/w au lieu de v'w - vw'w^2 donne, pour le capteur, 10/(t+4) au lieu de 10/(t+4)^2, soit des valeurs trop grandes d'un facteur t+4, compris entre 4 et 10 ici. Second piège : oublier la condition w(t) 0. La vitesse moyenne x(t)/t n'est pas définie en t = 0, alors même que la vitesse du chariot, elle, y vaut 2,0\ m/s : deux grandeurs définies sur des domaines différents.

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