Tangente à une courbe comme vitesse instantanée

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• La pente de la tangente à la courbe de x(t) en l'instant t est la vitesse instantanée : v(t) = x'(t). • Son signe donne le sens de déplacement, une tangente horizontale donne v = 0. • La vitesse moyenne sur un intervalle est la pente de la sécante correspondante, pas celle de la tangente. • Une vitesse nulle est locale : le mobile peut repartir en sens inverse juste après.

Le cours

1. La tangente donne la vitesse instantanée Sur le graphique d'une position x(t), la pente de la tangente en l'instant t est la vitesse instantanée du mobile : v(t) = x'(t) exprimée en m/s si x est en mètres et t en secondes • Le signe de v(t) donne le sens de déplacement : v > 0 vers l'avant, v • Une tangente horizontale signifie v = 0 : le mobile est immobile à cet instant précis. • La pente d'une sécante donne au contraire la vitesse moyenne sur l'intervalle correspondant. • La courbe de la vitesse v(t) s'obtient en dérivant : c'est elle qu'on enregistre au tachygraphe du banc d'essai. 2. Méthode : dériver, évaluer, interpréter La tête de lecture du chariot suit la loi x(t) = -t^2 + 3\,t + 2. On en dérive la vitesse : v(t) = x'(t) = -2\,t + 3 donc v(0) = +3,0\ m/s, v(1,5) = 0, v(3) = -3,0\ m/s t en s 0 0,75 1,5 2,25 3,0 x(t) en mètres 2,00 3,69 4,25 3,69 2,00 v(t) en m/s +3,00 +1,50 0 -1,50 -3,00 0 1 2 3 2 3 4 5 tangente : +1,50 m/s 4,25 m tangente : -1,50 m/s temps t en secondes position x(t) et tangentes x en mètres 0 1 2 3 2 3 4 5 vitesse moyenne sur [0 ; 3] : 0,00 m/s v = 0 au sommet temps t en secondes vitesse moyenne et vitesse instantanée x en mètres 3. Vitesse nulle : demi-tour ou arrêt Le chariot part à 3,0\ m/s, ralentit, atteint 4,25\ m à vitesse nulle en t = 1,5\ s, puis revient à sa position initiale à t = 3\ s. Sur l'ensemble du cycle, sa vitesse moyenne est nulle, alors qu'il n'est immobile qu'à un seul instant, t = 1,5\ s. 4. Piège : conclure à un arrêt définitif Lire v(1,5) = 0 et annoncer « le chariot est arrêté » est faux : entre 1,5 et 3\ s il parcourt encore 2,25\ m vers l'arrière. La vitesse nulle décrit un instant, comme la tangente horizontale n'est qu'une direction. Second piège : lire la vitesse sur la hauteur de la courbe. En t = 0,75\ s, le point de la courbe est à 3,69\ m, mais la vitesse vaut 1,50\ m/s : une vitesse se lit sur la pente de la tangente ou se calcule par la dérivée, jamais sur l'ordonnée du point.

Dans ce chapitre

• Taux de variation moyen d'une fonction de classe de Seconde
• Dérivée d'un polynôme et tableau de variations d'une loi de mouvement
• Lecture d'une courbe et de ses tangentes au tracé de classe de Seconde
• Nombre dérivé comme limite du taux de variation d'une consigne
• Nombre quotient et calcul de la dérivée en un point
• Tangente en un point : coefficient directeur et équation réduite
• Dérivée d'une racine carrée et conditions de définition
• Dérivée d'un quotient et domaine de définition
• Représentation paramétrique approchée d'une trajectoire
• Tangente à une courbe comme vitesse instantanée
• Dérivée d'une fonction trigonométrique
• Résolution graphique d'une équation par intersection de courbes
• Dérivée seconde et concavité d'une trajectoire
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivées, tangentes et courbes d'un système technique