Tangente en un point : coefficient directeur et équation réduite

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• La tangente en A(a\,;\,x(a)) a pour équation x = x'(a)(t-a) + x(a), et se développe en x = m\,t + p avec m = x'(a). • Le coefficient directeur est le nombre dérivé : une tangente horizontale correspond à une vitesse nulle. • La tangente estime la position à un instant voisin : x(a+ t) x(a) + x'(a)\, t. • Une tangente est un modèle local, jamais une description du mouvement complet.

Le cours

1. La tangente remplace la courbe au voisinage d'un point Au point A(a\,;\,x(a)), la tangente est la droite de coefficient directeur x'(a) qui passe par A. Son équation réduite s'écrit : x = x'(a)\,(t - a) + x(a) soit x = m\,t + p • Le nombre dérivé x'(a) est le coefficient directeur : il se lit sur la pente de la tangente. • Au point de contact, la tangente et la courbe ont le même point et la même pente x'(a) : c'est ce qui distingue la tangente de toutes les autres droites passant par A. Elles s'écartent dès qu'on s'éloigne de A. • Sur une courte durée t, la tangente donne une estimation de la position : x(a+ t) x(a) + x'(a)\, t. • En développant, m = x'(a) et p = x(a) - a\,x'(a). L'équation réduite se vérifie en deux secondes : on remplace t par a et on doit retrouver x(a). 2. Méthode : trois étapes pour l'équation réduite Pour x(t) = 1,5\,t^2 - 4\,t + 3 en t = 2,0\ s : x(2) = 1,00\ m x'(2) = 3 2 - 4 = 2,00\ m/s x = 2,00\,(t - 2,0) + 1,00 x = 2,00\,t - 3,00 Contrôle : en t = 2,0, cette droite donne bien x = 1,00\ m. 0 1 2 3 0 1 2 3 4 A 1,00 m 0,2 s 0,40 m tangente : x = 2t - 3 temps t en secondes position x(t) et tangente en A x en mètres 1,6 1,8 2 2,2 2,4 0 1 2 la tangente reste au-dessous de la courbe x = 2t - 3 temps t en secondes tangente et courbe au voisinage de A x en mètres 3. Ce que la tangente permet de prévoir Avec x = 2\,t - 3, la position à l'instant t = 2,5\ s est estimée à 2,00\ m, alors que la loi exacte donne x(2,5) = 2,375\ m. L'écart, 0,375\ m, vient de la courbure de la trajectoire : il reste faible si t est petit devant la durée caractéristique du mouvement. 4. Piège : prendre la tangente pour la courbe Dire que le chariot est à 2,00\ m en t = 2,5\ s parce que la tangente y donne 2,00 est faux : la tangente est un modèle local, valable au voisinage de l'instant de contact. Pour un calcul de position en fin de cycle, il faut la loi complète. Second piège : prendre x(a) pour l'ordonnée à l'origine. En développant x'(a)(t-a)+x(a), on obtient p = x(a) - a\,x'(a) : ici p = 1,00 - 2 2,00 = -3,00 et non 1,00. Le signe de -a\,x'(a) dépend de celui de x'(a), d'où les erreurs de signe.

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