Représentation paramétrique approchée d'une trajectoire

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Une trajectoire dans le plan est décrite par deux fonctions d'un même paramètre : x(t) et y(t). • Le plan de travail porte x en abscisse et y en ordonnée, jamais le paramètre t. • La courbe tracée est une approximation, plus juste quand le pas du tableau est petit. • La pente de la tangente vaut y'(t)/x'(t) lorsque x'(t) 0.

Le cours

1. Une trajectoire décrite par deux fonctions Un chariot à deux axes se déplace dans un plan : sa trajectoire ne peut pas être décrite par une seule fonction. On utilise un paramètre, en général le temps t, et deux fonctions x(t) et y(t) : à chaque instant correspond un point M de coordonnées (x(t)\,;\,y(t)). t en s 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 x(t) en mètres 0,00 0,40 0,80 1,20 1,60 2,00 2,40 y(t) en mètres 1,00 0,50 0,20 0,10 0,20 0,50 1,00 • Le plan de travail ne porte pas le paramètre t : on y place x en abscisse et y en ordonnée. • La courbe obtenue en reliant les points du tableau est une approximation de la trajectoire réelle, d'autant plus fine que le pas du tableau est petit. • Le paramètre t sert à repérer un point sur la trajectoire, pas dans le plan : deux points de même ordonnée peuvent avoir des instants différents. 2. Méthode : tracer, puis lire la tangente Après avoir placé les points du tableau et les avoir reliés, on lit la direction de la trajectoire en un point : c'est la pente de la tangente. Lorsque x'(t) 0, elle vaut le quotient des dérivées : p = y'(t)/x'(t) ici y'(t) = 0,8\,t - 1,2 et x'(t) = 0,80 Cette pente n'a pas d'unité : elle est le rapport de deux vitesses exprimées en m/s. Elle donne la direction du déplacement, et son signe indique si la trajectoire monte ou descend. 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 0 0,4 0,8 1,2 M : t = 0 M : t = 1,5 s M : t = 3 s pente -1,5 pente +0,5 abscisse x en mètres trajectoire du chariot XY ordonnée y en mètres 0 1 2 3 0 1 2 x(t) y(t) temps t en secondes les deux coordonnées grandeurs en mètres 3. Le point le plus bas de la trajectoire À t = 1,5\ s, la pente vaut 0,8 1,5 - 1,20,80 = 0 : la tangente est horizontale et le chariot est au point le plus bas de sa trajectoire, à 0,10\ m. Avant cet instant il descend, après il remonte : la trajectoire est une parabole. 4. Piège : placer le paramètre dans le plan Tracer la courbe de y(t) dans le repère (t\,;\,y) puis l'appeler « trajectoire » est une erreur de repère : la trajectoire se trace avec x en abscisse et y en ordonnée. La courbe de y(t) en fonction du temps est un chronogramme, utile pour le diagnostic mais ce n'est pas le chemin du chariot. Second piège : utiliser le quotient de deux valeurs y(t_2)/x(t_2) au lieu du quotient des dérivées y'(t)/x'(t). Le premier donne un rapport de positions, le second une pente.

Dans ce chapitre