Dérivée seconde et concavité d'une trajectoire

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• x''(t) est l'accélération du mobile, en m/s^2, et le signe de x'' donne la concavité de la trajectoire. • x'' > 0 : vitesse croissante, courbe convexe ; x'' < 0 : vitesse décroissante, courbe concave. • Un point d'inflexion est un instant où x'' s'annule en changeant de signe. • x'' = 0 ne signifie ni vitesse nulle, ni extremum : il faut comparer les positions.

Le cours

1. La dérivée seconde : courbure et accélération La dérivée de la dérivée, notée x''(t), décrit la façon dont la vitesse évolue. Son signe donne la concavité de la trajectoire, et en physique c'est l'accélération du mobile : x''(t) > 0 vitesse croissante, courbe convexe x''(t) • Une accélération nulle en un instant ne dit rien de la vitesse : un mouvement uniforme x(t) = 2\,t a x'' = 0 et x' = 2\ m/s. Ici, en revanche, x''(1) = 0 et x'(1) = 0 en même temps : c'est un cas particulier à traiter. • Un point d'inflexion est un instant où x'' s'annule en changeant de signe : la courbe change alors de courbure. • L'unité de x''(t) est celle de la vitesse divisée par le temps : des mètres par seconde au carré. • En conception, on cherche des profils à accélération bornée : ce sont ceux qui évitent les à-coups mécaniques et les chocs sur les charges. 2. Méthode : dériver deux fois, lire le signe, interpréter Pour une consigne en profil en S, x(t) = 0,6\,t^3 - 1,8\,t^2 + 1,8\,t : x'(t) = 1,8\,t^2 - 3,6\,t + 1,8 = 1,8(t-1)^2 x''(t) = 3,6\,t - 3,6 = 3,6(t-1) t en s 0 0,5 1,0 1,5 2,0 x(t) en mètres 0,00 0,525 0,600 0,675 1,200 x'(t) en m/s +1,80 +0,45 0 +0,45 +1,80 x''(t) en m/s^2 -3,60 -1,80 0 +1,80 +3,60 0 0,5 1 1,5 2 0 0,4 0,8 1,2 point d'inflexion : 0,60 m concave convexe tangente horizontale temps t en secondes profil en S de la position x(t) x en mètres 0 0,5 1 1,5 2 -4 -2 0 2 4 x'' = 0 en t = 1 s -3,6 +3,6 temps t en secondes accélération x''(t) = 3,6t - 3,6 accélération en m/s² 3. Ce que dit la concavité d'un mouvement Le chariot commence par ralentir (x'' 0 après). Ce profil en S correspond à une pause instantanée : la vitesse x'(t) = 1,8(t-1)^2 s'annule en t = 1\ s sans changer de signe, et le chariot repart dans le même sens, sans demi-tour. 4. Piège : conclure à un extremum quand x'' = 0 En t = 1,0\ s, on a x'(1) = 0 et x''(1) = 0. Il serait faux d'en déduire que le chariot s'arrête ou qu'il atteint un maximum : la position passe de 0,525\ m à 0,675\ m entre 0,5 et 1,5\ s, elle augmente donc tout le temps. C'est un point d'inflexion à tangente horizontale, pas un sommet. Second piège : confondre le signe de x'' avec celui de x'. Une concavité négative (x'' < 0) n'oblige pas la position à décroître : ici la position augmente pendant toute la durée du cycle.

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