Dérivée d'un polynôme et tableau de variations d'une loi de mouvement

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Une loi polynomiale du temps se dérive terme par terme : x'(t) = 0,6\,t^2 - 1,8\,t + 1,2. • Factoriser la dérivée, ici x'(t) = 0,6(t-1)(t-2), donne immédiatement le signe et les instants d'immobilité. • Le tableau de variations relie ces instants aux positions : maximum local 0,50\ m en 1\ s, minimum local 0,40\ m en 2\ s. • Une vitesse nulle est locale : le mouvement reprend de l'autre côté.

Le cours

1. Une loi de mouvement en fonction du temps Le chariot du module de tri revient se parer devant son capteur après un bref recul. Sa position, en mètres, est donnée pour 0 t 4\ s par la loi polynomiale : x(t) = 0,2\,t^3 - 0,9\,t^2 + 1,2\,t • On dérive chaque terme séparément avec (t^n)' = n\,t^n-1 : l'exposant descend en facteur du coefficient, puis la puissance diminue d'un rang. Ainsi (0,2\,t^3)' = 0,6\,t^2 et (-0,9\,t^2)' = -1,8\,t. • x'(t) = 0,6\,t^2 - 1,8\,t + 1,2 = 0,6\,(t-1)(t-2) • La dérivée s'annule en t = 1\ s et en t = 2\ s : ce sont les deux instants où le chariot est immobile. • Le signe de x'(t) donne le sens de déplacement : positif vers l'avant, négatif pendant le recul. 2. Tableau de variations du mouvement t en s 0 1 2 4 x'(t) en m/s +1,20 0 0 +3,60 Sens de variation — x(t) en m 0,00 0,50 0,40 3,20 Le chariot avance de 0,00\ m à 0,50\ m, recule jusqu'à 0,40\ m, puis repart vers l'avant jusqu'à 3,20\ m : la courbe présente un maximum local puis un minimum local. 0 1 2 3 4 0 1 2 3 0,50 m tangente horizontale 0,40 m temps t en secondes loi de mouvement x(t) x en mètres 0 1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 +3,60 temps t en secondes vitesse instantanée x'(t) x'(t) en m/s 3. Méthode : dériver, factoriser, puis lire le signe • Je dérive la loi du mouvement terme par terme, sans oublier la puissance : x'(t) = 0,6\,t^2 - 1,8\,t + 1,2. • Je factorise la dérivée : x'(t) = 0,6(t-1)(t-2). La factorisation est ce qui rend le signe lisible sans tableau de signes. • Je repère les racines, ici 1\ s et 2\ s, et je teste une valeur dans chaque intervalle : x'(0) = 1,2 > 0, x'(1,5) = -0,15 0. • Je reporte les valeurs de x(t) aux extrémités de chaque intervalle pour construire le tableau de variations. 4. Piège : une vitesse nulle n'est pas un arrêt définitif En t = 2\ s, on lit x'(2) = 0. Il serait faux d'en conclure que le chariot s'arrête : entre 2\ s et 4\ s il passe de 0,40\ m à 3,20\ m, soit 2,80\ m parcourus. Une vitesse nulle décrit un instant, pas la suite du mouvement. Second piège : confondre la position et la vitesse. x(t) = 0,40\ m en t = 2\ s est une distance, x'(t) = 0\ m/s est une vitesse : les deux grandeurs ne s'additionnent jamais.

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