Dérivée d'une fonction trigonométrique

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• ()' = , ()' = -, ()' = 1^2. • Composée avec le temps : ((\,t))' = -\,(\,t) et ((\,t))' = \,(\,t), le facteur étant la pulsation. • Une came à excentrique a donc une vitesse nulle aux positions extrêmes et maximale au milieu de sa course. • Les valeurs remarquables de t donnent des résultats exacts et permettent de vérifier une dérivée.

Le cours

1. Les dérivées des fonctions trigonométriques Un arbre à cames, un système bielle-manivelle ou un plateau tournant décrivent un mouvement sinusoïdal. La hauteur du suiveur d'une came suit par exemple y(t) = 1,5(2\,t) + 3, et sa dérivée s'obtient avec les trois formules de référence : ()' = ()' = - ()' = 1^2 y'(t) = 1,5 (-2) (2\,t) = -3(2\,t) soit -A\,\,(\,t) avec A = 1,5 et = 2\ rad/s • La dérivée d'un cosinus est un sinus négatif : c'est le signe qui fait toute la différence entre montée et descente. • Le facteur vient de la dérivée de l'argument 2\,t : l'oublier revient à confondre deux vitesses de rotation. • Les valeurs remarquables donnent des résultats exacts : y(/4) = 3,00\ cm et y'(/4) = -3,00\ cm/s. • Le signe de y' change quand le suiveur passe par une position basse ou haute, donc aux seuls instants où (2\,t) s'annule : t = 0, /2, … 2. Méthode : dériver l'argument, puis la fonction On dérive de l'intérieur vers l'extérieur, en notant chaque étape : y = 1,5(2\,t) + 3 y' = 1,5 (()'(2\,t) 2) = 1,5 (-2(2\,t)) = -3(2\,t) On vérifie ensuite le résultat aux points remarquables, où le calcul est immédiat, avant de l'utiliser sur un instant quelconque. 3. Valeurs remarquables de la came t 0 /4 /2 3/4 y(t) en centimètres 4,50 3,00 1,50 3,00 4,50 y'(t) en cm/s 0 -3,00 0 +3,00 0 La vitesse est nulle aux deux positions extrêmes et maximale en /4 et 3/4 : la came est la plus rapide quand elle passe au milieu de sa course. 0 π/4 π/2 3π/4 π 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 3,00 cm tangente en π/4 : pente -3,00 4,50 cm 1,50 cm temps t en secondes suiveur d'une came à excentrique hauteur y en centimètres 0 π/4 π/2 3π/4 π -3 -2 -1 0 1 2 3 -3,00 cm/s +3,00 cm/s temps t en secondes vitesse du suiveur y'(t) vitesse y' en cm/s 4. Piège : oublier le facteur de rotation Écrire y'(t) = -1,5(2\,t) au lieu de -3(2\,t) revient à oublier la dérivée de l'argument 2\,t. L'erreur donne une vitesse deux fois trop petite, donc une came deux fois moins rapide qu'elle ne l'est réellement. Second piège : conclure qu'une vitesse nulle signifie un arrêt. En t = 0 et t = /2, la vitesse est nulle, mais la came est seulement aux positions extrêmes : elle repart immédiatement en sens inverse.

Dans ce chapitre

• Taux de variation moyen d'une fonction de classe de Seconde
• Dérivée d'un polynôme et tableau de variations d'une loi de mouvement
• Lecture d'une courbe et de ses tangentes au tracé de classe de Seconde
• Nombre dérivé comme limite du taux de variation d'une consigne
• Nombre quotient et calcul de la dérivée en un point
• Tangente en un point : coefficient directeur et équation réduite
• Dérivée d'une racine carrée et conditions de définition
• Dérivée d'un quotient et domaine de définition
• Représentation paramétrique approchée d'une trajectoire
• Tangente à une courbe comme vitesse instantanée
• Dérivée d'une fonction trigonométrique
• Résolution graphique d'une équation par intersection de courbes
• Dérivée seconde et concavité d'une trajectoire
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivées, tangentes et courbes d'un système technique