Résolution graphique d'une équation par intersection de courbes

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Résoudre u(t) = u_c revient à chercher l'intersection de la courbe et de la droite de consigne. • Le nombre d'intersections est le nombre de solutions : une courbe en U coupe deux fois un seuil situé au-dessus de son minimum. • Un simple contact sans croisement ne donne qu'une solution, de multiplicité double. • Toute lecture graphique reste approchée : on l'encadre ensuite par un calcul.

Le cours

1. Résoudre une équation, c'est chercher une intersection Un problème de régulation se formule souvent comme une équation : le signal mesuré u(t) doit atteindre le niveau de consigne u_c, ce qui s'écrit u(t) = u_c. Graphiquement, cela revient à chercher l'intersection de la courbe u avec la droite horizontale u = u_c. u(t) = u_c nombre de solutions = nombre d'intersections lues sur le graphique • Chaque intersection est un instant à retenir : une consigne peut être franchie deux fois, par exemple à la montée puis au retour. • Le signe de la dérivée au point d'intersection indique si le signal traverse le seuil par le haut ou par le bas. • Une intersection sans croisement, un simple contact, ne compte qu'une solution : c'est le cas le plus piégeux. • Une lecture graphique donne toujours une valeur approchée, à encadrer ensuite par un calcul. 2. Méthode : tracer, lire, puis encadrer On trace d'abord la courbe et la droite de consigne, puis on lit les instants d'intersection. Pour les affiner, on utilise la dichotomie : on encadre la solution entre deux instants dont les images sont de part et d'autre de u_c, puis on resserre l'encadrement. t en s 0,5 1,0 1,5 2,0 4,5 5,0 5,5 u(t) en volts 4,625 3,50 2,625 2,00 2,625 3,50 4,625 Comparaison à 3,50\ V > = = > 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 t = 1 s t = 5 s seuil de la consigne temps t en secondes consigne u(t) et seuil de 3,50 V u en volts 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 contact unique en t = 3 s mesurée théorique temps t en secondes contact sans croisement u en volts 3. Le cas du contact : une solution, deux courbes tangentes Sur la seconde figure, la consigne mesurée u(t) = 0,5(t-3)^2 + 1,5 et la consigne théorique -0,5(t-3)^2 + 1,5 ne se croisent pas : elles se touchent en t = 3\ s. L'écart vaut (t-3)^2, qui ne s'annule qu'une seule fois : il existe donc un unique instant où la mesure coïncide avec la théorie. 4. Piège : ne lire qu'une seule intersection Sur une courbe qui descend puis remonte, la droite de consigne est atteinte deux fois. Se fier au premier point visible sur l'écran fait manquer le second, qui est souvent celui qui intéresse l'automaticien : c'est le retour au niveau de consigne. Second piège : confondre le nombre de solutions avec leur multiplicité. Un contact correspond à une solution double, qu'une lecture graphique fait facilement passer pour zéro intersection.

Dans ce chapitre

• Taux de variation moyen d'une fonction de classe de Seconde
• Dérivée d'un polynôme et tableau de variations d'une loi de mouvement
• Lecture d'une courbe et de ses tangentes au tracé de classe de Seconde
• Nombre dérivé comme limite du taux de variation d'une consigne
• Nombre quotient et calcul de la dérivée en un point
• Tangente en un point : coefficient directeur et équation réduite
• Dérivée d'une racine carrée et conditions de définition
• Dérivée d'un quotient et domaine de définition
• Représentation paramétrique approchée d'une trajectoire
• Tangente à une courbe comme vitesse instantanée
• Dérivée d'une fonction trigonométrique
• Résolution graphique d'une équation par intersection de courbes
• Dérivée seconde et concavité d'une trajectoire
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivées, tangentes et courbes d'un système technique