Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivées, tangentes et courbes d'un système technique

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Une dérivée est un taux de variation instantané : le nombre quotient pour h très petit, la pente de la tangente. • Sur un système technique : u' vitesse de variation d'une tension, x' vitesse, x'' accélération, y'/x' direction de la trajectoire. • La tangente en A a pour équation y = f'(a)(t-a) + f(a) ; elle est un modèle local, valable au voisinage de a. • Résoudre f(t) = u_c graphiquement revient à lire les intersections, dont le nombre est le nombre de solutions.

Le cours

1. Ce que chaque dérivée décrit dans un système technique Sur un système technique, chaque dérivée répond à une question d'ingénieur différente. Les distinguer évite la plupart des erreurs d'interprétation. Grandeur dérivée Question à laquelle elle répond Unité type u'(t) sur une consigne À quelle vitesse la tension varie-t-elle à cet instant ? V/s x'(t) sur une position Quelle est la vitesse du mobile à cet instant ? m/s x''(t) sur une position Le mobile accélère-t-il ou ralentit-il ? m/s^2 y'(t)/x'(t) sur une trajectoire Dans quelle direction le mobile se déplace-t-il ? sans unité 2. La chaîne de méthode, dans l'ordre • Je nomme la grandeur physique étudiée : position, vitesse, tension, hauteur, et son unité réelle. • J'écris la loi en fonction du paramètre, en vérifiant le domaine de validité et les conditions d'existence. • Je décompose la fonction en termes élémentaires pour n'appliquer que des formules connues : somme, produit, quotient, racine carrée, sinus. • Je dérive en conservant les parenthèses, puis je simplifie avant tout calcul numérique. • J'évalue à l'instant demandé, dans la bonne unité, puis j'interprète le signe avec les mots du système. • Je contrôle : ordre de grandeur, comparaison avec une vitesse moyenne ou une mesure voisine, vérification aux points remarquables. 3. Les dérivées utilisées dans ce chapitre Fonction Dérivée Domaine de validité k (constante) 0 R ax + b a R x^2, x^3 2x, 3x^2 R u 12u u > 0 , , - R v/w v'w - vw'w^2 w 0 0 0,5 1 1,5 2 -4 -2 0 2 4 x'(t) : la vitesse x''(t) : l'accélération 0,80 0,80 t = 1 s temps t en secondes vitesse x'(t) et accélération x''(t) m/s et m/s² 4. Les cinq pièges à vérifier avant de conclure • Confondre vitesse moyenne (pente d'une sécante) et vitesse instantanée (pente d'une tangente). • Déduire un arrêt ou un extremum d'une valeur nulle : x' = 0 est un instant, pas une durée ; x'' = 0 ne signale un changement de courbure que si x'' change de signe. • Oublier la condition d'existence : racine carrée strictement positive, dénominateur non nul. • Perdre le signe en développant une équation de tangente ou une expression à racine carrée. • Donner une valeur sans unité : la dérivée d'une position en mètres par rapport au temps en secondes s'exprime en m/s. 0,8 1 1,2 1,4 0,6 0,7 0,8 dérivée : -0,40 nombre quotient : -0,32 A temps t en secondes sécante et tangente au voisinage de A x en mètres

Dans ce chapitre

• Taux de variation moyen d'une fonction de classe de Seconde
• Dérivée d'un polynôme et tableau de variations d'une loi de mouvement
• Lecture d'une courbe et de ses tangentes au tracé de classe de Seconde
• Nombre dérivé comme limite du taux de variation d'une consigne
• Nombre quotient et calcul de la dérivée en un point
• Tangente en un point : coefficient directeur et équation réduite
• Dérivée d'une racine carrée et conditions de définition
• Dérivée d'un quotient et domaine de définition
• Représentation paramétrique approchée d'une trajectoire
• Tangente à une courbe comme vitesse instantanée
• Dérivée d'une fonction trigonométrique
• Résolution graphique d'une équation par intersection de courbes
• Dérivée seconde et concavité d'une trajectoire
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivées, tangentes et courbes d'un système technique