Nombre dérivé comme limite du taux de variation d'une consigne

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Le nombre dérivé u'(a) est la valeur vers laquelle se rapproche le nombre quotient u(a+h)-u(a)/h quand h devient très petit. • Il est associé à un instant précis et s'exprime dans l'unité de la grandeur divisée par celle du temps : ici V/s. • Le nombre quotient dépend de h, le nombre dérivé n'en dépend pas. • Deux instants symétriques a-h et a+h donnent une estimation plus juste que les instants a et a+h.

Le cours

1. La consigne et son nombre dérivé La consigne u(t) d'un capteur de position est la tension qu'il délivre en volts. Entre l'instant a et l'instant a+h, le taux de variation de la consigne vaut u(a+h)-u(a)/h. Quand h devient très petit devant la durée du cycle, ce quotient s'approche d'une valeur précise : le nombre dérivé u'(a). u'(a) = valeur vers laquelle se rapproche\ u(a+h)-u(a)/h\ quand h devient très petit • En physique, ce nombre dérivé est la vitesse de variation instantanée de la tension délivrée : il s'exprime ici en volts par seconde. • Un nombre dérivé est toujours associé à un instant précis : u'(1) n'a de sens qu'en t = 1\ s. • Le signe indique la façon dont la consigne évolue : ici elle décroît en t = 1\ s. • On approxime le nombre dérivé par le nombre quotient pris pour un h très petit : c'est une estimation, pas une égalité. 2. Méthode : faire tendre h vers zéro par le calcul • Je pars d'une loi de consigne simple, ici u(t) = 0,5\,t^2 - 2\,t + 5, et je calcule u(1) = 3,50\ V. • Je forme le nombre quotient pour une valeur de h encore visible sur l'écran : 0,1\ s, puis 0,01\ s, puis 0,001\ s. • Je reporte les trois valeurs dans un tableau et je regarde vers quoi elles convergent. • J'annonce la valeur obtenue comme une approximation du nombre dérivé, dans son unité. h en s 0,1 0,01 0,001 u(1+h) en volts 3,405 3,49005 3,499001 u(1) = 3,500\ V — — — Nombre quotient -0,95 -0,995 -0,9995 0 1 2 3 4 2 3 4 5 A : 3,50 V tangente en A : pente -1,00 niveau de la consigne temps t en secondes consigne u(t) du capteur u en volts 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 h = 0,1 : -0,95 h = 0,2 : -0,90 h = 0,4 : -0,80 tangente : -1,00 temps t en secondes sécantes de plus en plus courtes u en volts 3. Deux points symétriques donnent un quotient plus juste Le capteur échantillonne la consigne aux instants 0,9\ s et 1,1\ s. Le nombre quotient associé est alors : 3,405 - 3,6051,1 - 0,9 = -0,2000,2 = -1,00\ V/s Ce résultat est ici exact, alors qu'il ne l'était pas avec un seul point : l'écart de part et d'autre de a compense la courbure de la consigne, et cette compensation est parfaite pour un polynôme du second degré. Pour une autre fonction, deux points symétriques donnent seulement une estimation nettement plus précise que deux points pris d'un même côté. 4. Piège : confondre le nombre quotient et le nombre dérivé Avec h = 0,4\ s, le nombre quotient vaut -0,80\ V/s, et non -1,00\ V/s. Le nombre quotient dépend de h ; le nombre dérivé non. Annoncer le nombre quotient comme nombre dérivé revient à annoncer une vitesse moyenne pour une vitesse instantanée. Second piège : poser h = 0. Le quotient devient alors une division par zéro, qui n'a aucun sens : c'est précisément parce que h est petit mais non nul que le nombre dérivé se définit.

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