Dérivée d'une racine carrée et conditions de définition

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• (u)' = 12u pour u > 0 seulement : en u = 0 la tangente est verticale. • Composée avec le temps : y(t) = u(t) y'(t) = u'(t)2u(t). • Cas d'un treuil : y' = -d\,d'/y, avec la condition d < L. • Près de d = L, la vitesse verticale devient très grande : c'est un signal d'alarme, pas un calcul faux.

Le cours

1. La racine carrée : une dérivée qui exige des conditions La fonction racine carrée est définie sur [0\,;\,+[, mais elle n'est dérivable que sur ]0\,;\,+[ : (u)' = 12u pour u > 0 (0)' n'existe pas • Appliquée à une fonction du temps, la formule devient y(t) = u(t) y'(t) = u'(t)2u(t), à condition que u(t) > 0. • Au point u = 0, la tangente est verticale : elle n'a pas de coefficient directeur, donc pas de nombre dérivé. • Si l'expression est un produit ou une soustraction sous la racine, on dérive d'abord l'intérieur : ici y(t) = L^2 - d(t)^2. • Ici y est la profondeur de la charge sous le niveau du treuil, la corde de longueur L restant tendue. Le signe moins sous la racine rend y' de signe contraire à d' : quand la charge s'écarte horizontalement du treuil (d' > 0), elle remonte (y' 2. Méthode : isoler la racine, dériver l'intérieur, multiplier Avec y(t) = L^2 - d(t)^2, on pose u(t) = L^2 - d(t)^2, d'où u'(t) = -2\,d(t)\,d'(t) et : y'(t) = -2\,d(t)\,d'(t)2L^2 - d(t)^2 = -d(t)\,d'(t)L^2 - d(t)^2 = -d(t)\,d'(t)/y(t) On obtient ainsi la vitesse verticale de la charge en une seule expression, directement utilisable par l'automate de commande du treuil. 3. Valeurs calculées pour une corde de 5\ m et d' = 0,8\ m/s Distance d 0\ m 1\ m 2\ m 3\ m 4\ m 4,9\ m Profondeur y = 25-d^2 5,00 4,90 4,58 4,00 3,00 0,995 y' = -0,8\,d/y en m/s 0,00 -0,16 -0,35 -0,60 -1,07 -3,94 La vitesse de remontée double presque lorsque la distance passe de 3 à 4\ m et devient brutalement grande à 4,9\ m : c'est le signe que l'on approche de la limite d = L, où la formule n'a plus aucun sens. treuil d = 3 m y = 4 m corde L = 5 m charge suspendue la corde garde une longueur constante : d et y varient ensemble 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 4,00 m 0,995 m pente -0,60 m/s distance d en mètres profondeur y(d) sous le treuil y en mètres 4. Piège : oublier le signe ou la condition d'existence Écrire (u)' = 1/2u conduit à une valeur absurde : la bonne formule est 12u. De même, oublier le signe moins - devant d\,d'/y ferait croire que la charge s'enfonce alors qu'elle remonte en s'écartant du treuil. Second piège : appliquer la formule en d = L. On aurait alors y = 0 et la vitesse verticale deviendrait infinie : la fonction n'est plus dérivable au point correspondant. Le domaine de validité impose d < L.

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