Coefficient directeur et taux de variation d'un signal de classe de Seconde

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Un signal affine s'écrit u(t) = a\,t + b : b = u(0) et a est le coefficient directeur de la droite. • a = u(t_2) - u(t_1)/t_2 - t_1, en volts par seconde pour un signal en volts : c'est la variation par seconde. • Pour un signal quelconque, ce quotient est le taux de variation, ou vitesse moyenne, sur [t_1\ ;\ t_2]. • Avancer d'un pas : u(t_2) = u(t_1) + a (t_2 - t_1).

Le cours

1. Signal affine et coefficient directeur En Seconde, vous avez étudié les fonctions affines u(t) = a\,t + b. Leur courbe est une droite : b = u(0) est l'ordonnée à l'origine et a est le coefficient directeur. Entre deux instants quelconques t_1 t_2 : a = u(t_2) - u(t_1)/t_2 - t_1 = u/ t • Pour un signal en volts et un temps en secondes, a s'exprime en volts par seconde : c'est la quantité dont le signal varie chaque seconde. • a > 0 : le signal monte ; a • Mini-exemple : pour u(t) = 1,5\,t + 2, on a u(0) = 2\ V et u(4) = 8\ V, donc a = 8 - 2/4 - 0 = 1,5\ V/s, quel que soit le couple d'instants choisi. 0 1 2 3 4 0 4 8 Δt = 2 s Δu = 3 V b = 2 V a = 3 / 2 = 1,5 V/s temps t en secondes u en volts Sur la figure, entre t = 1\ s et t = 3\ s, le signal gagne u = 6,5 - 3,5 = 3\ V en t = 2\ s : le triangle de pente redonne a = 1,5\ V/s. 2. Taux de variation d'un signal quelconque Pour un signal qui n'est pas affine, le quotient u(t_2) - u(t_1)/t_2 - t_1 s'appelle le taux de variation entre t_1 et t_2 : c'est la vitesse moyenne de variation sur cet intervalle. Il dépend alors de l'intervalle choisi. Instant t (s) 0 2 4 u(t) = 0,5\,t^2 + 2 (V) 2 4 10 • Sur [0\ ;\ 2] : 4 - 2/2 = 1\ V/s ; sur [2\ ;\ 4] : 10 - 4/2 = 3\ V/s. Deux taux différents : le signal n'est pas affine. • Un taux de variation se lit aussi graphiquement : c'est le coefficient directeur de la corde qui joint les deux points de la courbe. 3. Méthode : avancer d'un pas avec le coefficient directeur Connaissant la valeur du signal à un instant et sa vitesse de variation a, on retrouve sa valeur un peu plus tard : u(t_2) = u(t_1) + a (t_2 - t_1) 1. Lire la valeur de départ u(t_1) et le coefficient a, avec leurs unités. 2. Calculer la durée t_2 - t_1. 3. Ajouter à la valeur de départ le produit a (t_2 - t_1). Exemple : un signal vaut 5\ V en t = 2\ s et varie de 3\ V/s ; une demi-seconde plus tard, il vaut 5 + 3 0,5 = 6,5\ V. C'est exactement le geste que répétera la méthode d'Euler de ce chapitre, pas après pas. 4. Attention • Garder le même ordre en haut et en bas : u(t_2) - u(t_1)/t_2 - t_1. Inverser une seule des deux différences change le signe du résultat. • Ne pas confondre la valeur du signal (8\ V) et son coefficient directeur (1,5\ V/s) : l'un est une hauteur, l'autre une pente. • Un signal affine n'est proportionnel au temps que si b = 0 : avec b = 2\ V, doubler la durée ne double pas la tension. • Pour un signal non affine, toujours préciser l'intervalle sur lequel on a calculé le taux de variation.

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